¿La densidad de probabilidad y la densidad de corriente de probabilidad tienen una unidad

Question

No he podido encontrar ¿cuál es la densidad de probabilidad y la densidad de corriente de probabilidad de las unidades unidimensionales de la ecuación de Schrödinger?

Answer 1

La probabilidad, como tal, no tiene unidades, es simplemente un número adimensional.

A densidad de probabilidad mide la probabilidad en una unidad de espacio (o tiempo, o espacio de fase, o lo que sea) y, por tanto, su unidad es la inversa de la unidad que se utiliza para medir el espacio en el que se distribuye la densidad.

Por ejemplo, si se tiene una densidad de probabilidad sobre un espacio unidimensional medido en metros, entonces la unidad de la densidad de probabilidad es 1 / metro. Si la densidad de probabilidad se distribuyera en un espacio bidimensional, se mediría en unidades de 1 / metro², y si fuera una densidad sobre tiempo se podría medir en unidades de 1 / segundo, etc.

Del mismo modo, una corriente de probabilidad es una medida de la probabilidad (que, de nuevo, es adimensional) de atravesar el límite de un área por unidad de tiempo. Así, si el límite se mide en unidades de X la corriente de probabilidad se mide en unidades de 1 / X / segundo (o la unidad de tiempo que utilices). Por supuesto, en un espacio unidimensional, un límite es simplemente un punto, y por lo tanto también adimensional, por lo que el flujo de probabilidad en el espacio 1D simplemente tiene unidades de 1 / segundo.

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Para tener una intuición visual de esto, puedes simplemente pensar en la probabilidad como análoga a un fluido físico, cuya cantidad puedes medir en moles o kilogramos o (suponiendo incompresibilidad) litros. La densidad de probabilidad es análoga a la cantidad de fluido en un volumen/área/longitud dados, que puede medirse en unidades convencionales de densidad, por ejemplo, moles por metro cúbico, y la corriente de probabilidad es análoga al flujo del fluido a través de un área/intervalo/punto, medido, por ejemplo, en moles por metro cuadrado por segundo. La única diferencia entre la probabilidad real y la analogía del fluido es que la probabilidad en sí, a diferencia de la cantidad de fluido, no tiene unidades, por lo que la unidad de densidad de probabilidad pasa a ser (por ejemplo) un por metro cúbico, y el de la corriente de probabilidad se convierte en un por metro cuadrado por segundo.

De hecho, esta analogía tiene un claro significado físico. Por un lado, si tenemos un gas formado por un gran número de partículas, cada una distribuida aleatoriamente según la misma densidad de probabilidad, entonces la densidad del gas es proporcional a la densidad de probabilidad de la distribución (y la constante de proporcionalidad es simplemente la cantidad total de gas).

A la inversa, si tenemos un volumen de gas con una distribución de densidad dada, y elegimos al azar una de las partículas que componen el gas, la probabilidad de que la partícula elegida se encuentre en un volumen de espacio dado viene dada por una distribución de probabilidad cuya densidad es proporcional a la densidad del gas (siendo la constante de proporcionalidad, de nuevo, la cantidad total de gas).

Así, en un sentido muy real, una densidad de probabilidad puede interpretarse como una densidad de partículas físicas dividida por la cantidad total de partículas. Si la posición de la partícula es incierta, de modo que tenemos, por ejemplo, una probabilidad de 0,05 de encontrarla en un volumen determinado, podemos afirmarlo, de media ese volumen contiene 0,05 partículas.

Por supuesto, también se puede dar una interpretación similar para, digamos, las distribuciones de probabilidad en el tiempo, sólo que sustituyendo las partículas por sucesos. De nuevo, la idea básica es que, si tenemos muchos sucesos independientes e idénticamente distribuidos, el número medio de sucesos en un intervalo de tiempo es simplemente la probabilidad de que ocurra un suceso en ese intervalo, multiplicada por el número total de sucesos independientes. Así, la "densidad de sucesos" es simplemente proporcional a la densidad de probabilidad, pero su unidad puede multiplicarse por la unidad que estemos utilizando para medir la cantidad de sucesos.

Answer 2

Ambos son densidades es decir, tienen la forma

$$ \frac{\text{base quantity}}{\text{"volume"}}$$

• La cantidad base tiene las unidades que tiene normalmente. Amperios para corriente, o (adimensional) para probabilidad.

• El "volumen" (que está entre comillas porque (a) no es necesariamente 3d como en una densidad de carga lineal y (b) puede existir en un espacio abstracto con dimensiones de coordenadas distintas de la longitud como con una distribución en el espacio de momento o el espacio de Fourier) probablemente también tiene unidades: alguna potencia de la dimensión de una sola coordenada en ese espacio. Y así sucesivamente. Se espera que seas capaz de deducir las unidades correctas para cada caso.

Así, la densidad de corriente tiene unidades de $\mathrm{A/m^2}$ porque es una densidad areal. La densidad de probabilidad en un espacio de posición 3D tiene unidades de $\mathrm{m^{-3}}$ . La densidad de probabilidad en el espacio de momento, medida en un experimento de dispersión cuasi-elástica, tiene unidades de $\mathrm{{GeV}^{-1}}$ porque sólo sondeamos una dimensión de la dependencia (y al ser físicos nucleares hemos empleado, obviamente, unidades naturales).

Answer 3

Quiero sumar la densidad de corriente de probabilidad, que es:

$$j = \frac{\hbar}{2mi}\left[\psi^*\frac{d\psi}{dx}-\psi\frac{d\psi^*}{dx}\right]$$

Con la forma general de la función de onda:

$$u(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$$

$A$ y $B$ son constantes adimensionales, y $k$ es el número de onda.

Con el tiempo, $k$ sale de las derivadas, y la densidad de corriente pasa a ser:

$$\frac{\hbar k}{m}(A^2-B^2)$$

Dónde $$\hbar k$$ es el momento lineal, $$\frac{\hbar k}{m}$$ se convierte en la velocidad. Por tanto, la unidad es el metro por segundo.