Teorema de cuatro cuadrados de Lagrange Estados que cada número natural puede escribirse como la suma de cuatro cuadrados, permitiendo ceros en la suma (por ejemplo, $6=2^2+1^2+1^2+0^2$). ¿Hay un resultado similar en el que los ceros no son permitidos en la suma? Por ejemplo, ¿existe $n\in\mathbb{N}$ tales que cada número natural mayor que $n$ puede escribirse como la suma de cuadrados de cero cinco o seis cuadrados de distinto de cero, por ejemplo?
Respuesta
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Esta pregunta es contestada en la "Introducción a la Serie La teoría" por Niven, Zuckerman& Montmogery (p 318-319 de la quinta edición). Resumen de la prueba a continuación.
Cada entero $\geq 34$ es una suma de cinco plazas positiva (mientras $33$ no lo está). El número cinco es la óptima, debido a que la única representación de $2^{2r+1}$ como una suma de cuatro plazas es $0^2+0^2+(2^r)^2+(2^r)^2$ (fácil prueba por inducción en $r$).
Uno puede comprobar con la mano por todos los números entre el $34$ $169$ son sumas de cinco positivo plazas. Ahora, vamos a $n\geq 169$ y háganoslo mostrar que $n$ es una suma de cinco positivo plazas.
Sabemos que $n-169$ es una suma de cuatro no es necesariamente positivo plazas, $n-169=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2$ y podemos asumir $x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq x_4$.
Si $x_1>0$, escribir $n=13^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2$ hemos terminado. Así que asumir $x_1=0$.
Si $x_2>0$, escribir $n=5^2+12^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2$ hemos terminado. Así que asumir $x_2=0$.
Si $x_3>0$, escribir $n=3^2+4^2+12^2+x_3^2+x_4^2$ hemos terminado. Así que asumir $x_3=0$.
Si $x_4>0$, escribir $n=2^2+4^2+7^2+12^2+x_4^2$ hemos terminado. Así que asumir $x_4=0$.
Así que ahora todo el $x_i$ son cero, y $n=169=5^2+6^2+6^2+6^2+6^2$. Esto concluye la prueba de ello.
