Elipsoide de la máxima

Question

Juan del Teorema puede enunciarse como "Para cada compacto, convexo cuerpo, no hay una única inscrito elipsoide, cuyo volumen es máximo entre todos los inscritos elipsoides." Se va a clasificar esta máxima elipsoide. Mediante el uso de este teorema, se puede probar que el elipsoide de volumen máximo que está contenido en un cuadrado es un círculo.

Esto me parece un problema que probablemente fue estudiado bien antes de Fritz John, y sin embargo, he sido incapaz de probar la declaración sobre los cuadrados y círculos en un elegante, pero bajo la ceja manera. Los pensamientos?

Answer 1

Aquí está una tentativa en una prueba bajo las cejas. Tomar una elipse de área máxima. Aplicar una transformación afín para hacer que un círculo; entonces el problema se vuelve demostrar que un paralelogramo de área mínima que contiene un círculo es un cuadrado. Es fácil ver que tanto la altura del paralelogramo y su base son al menos el diámetro. Q.E.D.

Answer 2

Ben, teorema de John es más fácil para las bolas de la unidad de los espacios que tienen una base simétrica porque se puede argumentar que los vectores de la base deben ser ortogonales con respecto a la norma euclidiana, determinada por el elipsoide de volumen máximo y todos los vectores de la base deben tener el misma norma euclidiana. En la UMich tienes un experto superior en esta dirección (Vershynin); hablar con él.