Distancia más corta entre un punto y una hélice

Question

Tengo una hélice en ecuaciones paramétricas que se envuelve alrededor del eje Z y un punto en el espacio. Quiero determinar la distancia más corta entre esta hélice y el punto, ¿cómo puedo hacerlo?

He intentado usar el teorema de Pitágoras para obtener la distancia y, a continuación, tomar la derivada de la función de distancia para encontrar los ceros, pero me parece que no puede obtener una ecuación explícita para T y yo estoy atrapado en eso.

(Me disculpo por las etiquetas, no estoy seguro de cómo etiquetar y no puedo crear nuevos)

Answer 1

Deje que la hélice ser dado por $(\cos t, \sin t, ht)$ (después de la ampliación). Si $P$ es tu punto de $(a,b,c)$, e $Q = (\cos t, \sin t, ht)$ es el punto más cercano de la hélice, a continuación, $PQ$ es perpendicular a la tangente en a $Q$, sólo $(-\sin t, \cos t, h)$:

$-(\cos t - a)\sin t + (\sin t - b)\cos t + (ht - c)h = 0 $

Esto se simplifica a $A \sin(t+B) + Ct + D = 0$ para algunas constantes $A,B,C,D,$ como Morón, dijo. Pero entonces usted tiene que resolver este numéricamente. Habrá más de una solución, en general, pero (como Jonas Kibelbek señaló en los comentarios) que sólo necesita comprobar las soluciones con $z$-coordinar en el intervalo de $[c-\pi h, c+\pi h)$.