Muchas personas están familiarizadas con algunas propiedades de las relaciones binarias, como la reflexividad, la simetría y la transitividad.
¿Cuáles son las propiedades más estudiadas de las relaciones ternarias (3-arias)?
Si pudiera dar un ejemplo motivador de por qué la propiedad es interesante, también sería útil.
Un tipo interesante de relación ternaria es la relación "entre" caracterizada por los Axiomas de Orden en los Fundamentos de la Geometría de Hilbert.
Supongo que las relaciones ternarias se estudian menos porque identificar una interesante requiere definiciones mucho más complicadas que las que se dan normalmente en el caso de las relaciones binarias...
Un ejemplo interesante es "ser Sistema triple Steiner "(y esto tiene relación con el comentario de Qiaochu Yuan: cualquier sistema triple de Steiner define un cuasigrupo conmutativo).
Hasta ahora nadie está dando propiedades, sino sólo ejemplos. Voy a continuar con ese tema.
Cuando Gauss definió la composición de las formas cuadráticas, en el plano de las formas cuadráticas lo que definió no era realmente una ley de composición sino una relación ternaria (tres formas cuadráticas $Q_1$ , $Q_2$ y $Q_3$ están "en composición" si $Q_1(x,y)Q_2(x',y') = Q_3(B,B')$ donde $B$ y $B'$ son lineales en $xx', xy', yx', yy'$ ). A nivel de clases de equivalencia propias de las formas cuadráticas esto se convierte en una ley de grupo.
Se podría decir que cualquier ley de grupo está definida por una relación ternaria $ghk = 1$ en el grupo. Esto se ajusta a la descripción geométrica y a la adición de puntos en una curva elíptica o a la interpretación de Bhargava de la composición de Gauss.
Una clase de ejemplo surge en la teoría de Lie. Tomemos $L$ un álgebra de Lie simple. Entonces hay una particular $\mathfrak{sl}(2)\subset L$ , toma de nombre $E$ para ser una raíz más alta, $F$ una raíz más baja, y $H=[E,F]$ . A continuación, descomponga $L$ como representación de esta subálgebra. Se obtiene $L=L_0\oplus L_1\otimes T \oplus \mathfrak{sl}(2)$ . Entonces $L_1$ es un sistema ternario. Esto satisface una identidad (complicada). Se puede reconstruir $L$ del sistema ternario y necesitas esta identidad para la identidad de Jacobi.
Triples pitagóricos inducen una relación ternaria que tiene muchas propiedades interesantes.
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