Derivación de las leyes de Kepler

Question

Cómo puede ser analíticamente derivados de las leyes de Kepler?

He encontrado algunos muy sintético de las ecuaciones que a partir de las leyes de Newton (en particular,$\mathbf{F} = m \mathbf{a}$) trató de obtener la Kepler leyes, pero incluso si parecía ser un buen procedimiento eran demasiado incompleta.

Hay un libro o un link donde puedo encontrar un exhaustivo tratado sobre esto? Estoy buscando un (tan completa como sea posible), un conjunto de hipótesis y los pasos que conducen a las leyes.

Podría usted me sugieren algunos recursos?

Answer 1

Este es el tema del Capítulo 8 de Marion & Thornton de la Mecánica Clásica.

La segunda ley de Kepler (áreas iguales en tiempos iguales) es una consecuencia del momento angular de la conservación, $$ \ell = \mu r^2 \dot\theta = \text{constante}, $$ (con reducción de la masa $\mu$ y coordina $r$$\theta$) debido a que el infinitesimal de área barrida por unidad de tiempo es $$ dA = \frac12 r^2 d\theta = \frac{\ell}{2\mu}dt. $$ Esto significa que el tiempo para barrer toda la zona es $\tau=2\mu A/\ell$, que vamos a volver más tarde.

La primera ley proviene de la ecuación de movimiento. La energía del sistema es

$$ E = \frac12 \mu\dot r^2 + \frac12 \frac{\ell^2}{\mu r^2} - \frac kr $$

que se puede resolver para $\dot r$ e integrar a encontrar $r(t)$. (Para la gravitación, la constante $k=GM\mu$ donde $M$ es el total de la masa de los dos cuerpos que interactúan.) Ignorando los matemáticos que el grito de "que no es como los diferenciales de trabajo!", podemos utilizar la sustitución $$ d\theta = \frac{d\theta}{dt} \frac{dt}{dr} dr = \frac{\dot\theta}{\dot r} dr, $$ eliminar $\dot\theta$$\ell$, y encontrar $$ \theta(r) = \int \frac{± (\ell/r^2) dr}{\sqrt{2\mu\left( E+\frac kr - \frac{\ell^2}{2\mu r^2} \right)}}. $$

La solución a esta integral se muestra que la órbita es una sección cónica $$ \begin{align} \frac\alpha r &= 1 + \epsilon\cos\theta & \alpha &= \frac{\ell^2}{\mu k} & \epsilon &= \sqrt{1 + \frac{2E\ell^2}{\mu k^2}} \end{align}. $$ Cerrado secciones cónicas son elipses con semi-mayor y semi-menor ejes $a$ $b$ relacionados por $b=\sqrt{\alpha a}$, y el área de $\pi ab$. Ya hemos aprendido que el tiempo necesario para barrer el área de la elipse $\tau\propto A$, y así podemos obtener de inmediato la tercera ley de Kepler $\tau \propto a^{3/2}$.

Answer 2

Si la respuesta de Rob es un poco tersa para usted, vea " Una derivación autónoma de las leyes de Kepler de las leyes de Newton ", que asume menos conocimiento previo y procede en pasos más pequeños. (Sí, lo escribí.)

Answer 3

No estoy muy familiarizado con este tema, pero aquí es un ejemplo de la tercera ley de Kepler en el caso especial de una órbita circular.

Considerando una órbita circular, la tercera ley de Kepler establece que el cuadrado de su periodo orbital es proporcional al cubo del radio, es decir,$T^2 \propto r^3$.

El período del movimiento circular está dada por: $$T=\frac{2\pi r}{v}$$ Cuadrado ambos lados, se obtiene: $$T^2=\frac{4\pi^2 r^2}{v^2}$$ Ya que la aceleración de un movimiento circular es $a=\frac{v^2}{r}$, obtenemos $v^2=ar$. Sustituyendo esto nos da: $$T^2=\frac{4\pi^2r^2}{ar}=\frac{4\pi^2r}{a}$$ Por la ley de Newton de la gravitación, $F=\frac{GMm}{r^2}$, obtenemos $a=\frac{GM}{r^2}$. Sustituyendo esto nos da: $$T^2=4\pi^2r\frac{r^2}{GM}$$ $$T^2=\frac{4\pi^2}{GM}r^3$$