Demostrando que $ 2 $ es la única solución real de $ 3^x+4^x=5^x $

Question

Me gustaría demostrar que la ecuación $ 3^x+4^x=5^x $ sólo tiene una solución real ( $x=2$ )

He intentado estudiar la función $ f(x)=5^x-4^x-3^x $ (para utilizar el teorema del valor intermedio) pero no soy capaz de encontrar el signo de $ f'(x)= \ln(5)\times5^x-\ln(4)\times4^x-\ln(3)\times3^x $ y no veo ningún otro método para resolver este ejercicio...

Answer 1

Un método directo es dividir directamente por $5^x$ y obtener $1=(3/5)^x+(4/5)^x$ . De aquí se deduce que el lado derecho es estrictamente decreciente y que existe una solución única. Casi todas las ecuaciones exponenciales pueden tratarse de esta manera, transformándolas en

• una función creciente igual a una función decreciente

• una función creciente/decreciente igual a una constante.

Answer 2

Si insertamos la solución conocida podemos escribir $$ 5^{2+x} = 4^{2+x} + 3^{2+x} $$ preguntando, si podría existir otra solución además de $x=0 $ . Entonces podemos reescribir, poniendo el $5^x$ a la derecha:
$$ 5^2 = 4^2\cdot 0.8^x + 3^2\cdot 0.6^x $$ Entonces, si los exponentes $x$ en los rhs son cero, tenemos la solución conocida. Pero si $x$ aumenta por encima de cero, entonces los valores de ambos sumandos disminuyen simultáneamente, por lo que la igualdad ya no puede mantenerse.
El análogo ocurre para la disminución de $x$ : ambos sumandos aumentan sobre sus cuadrados simultáneamente, por lo que no hay otra solución posible. QED.