Un espacio metrizable localmente

Question

¿Cada espacio localmente metrizable siempre es primero contador?

Un espacio metrizable local$X$ significa que para cada punto$x\in X$ tiene un nbhd abierto tal que es metrizable.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Si$x \in \rm X$ tiene un nbrhd metrizable abierto$\rm U$, entonces el conjunto de$\mathrm B(x, 1/n) \cap \mathrm U$ forma una base contable de nbhd abierta de$x$.

Answer 2

Sí.

Un espacio topológico es llamado en primera contables si cada punto tiene una contables barrio.

Fix $x\in X$ arbitrarias. Fix $U\subseteq X$ un barrio de $x$ que es metrizable, dicen por $\rho:U\times U\to[0,+\infty]$ (o $[0,+\infty)$), por lo $(U,\rho)$ es un espacio métrico. Usted incluso no necesita hacer cosas como $B(x,1/n)\cap U$ debido a que la métrica no está definido de $U\times U$.

Entonces, como el original de la topología y de la topología inducida por $\rho$ son idénticas, lo que Damien L dijo es cierto. $\{B(x,1/n)\}_{n\in\mathbb{N}}$ es el contable barrio de la base de que tenemos necesidad.