Posible duplicado:
Continuidad de la función métricaPara$F$ cerrado en un espacio métrico$(X,d)$, es el mapa$d(x,F) = \inf\limits_{y \in F} d(x,y)$ continuo?
Creo que lo es, pero estoy teniendo una mente completa en blanco (ha sido un tiempo desde que hice cualquier análisis).
Cualquier sugerencia sería apreciada.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Deje $(X,\rho)$ ser algunos de espacio métrico. Para cada una de las $A\subset X$ definimos la distancia de $x$ $A$igualdad $\rho(x,A)=\inf\{\rho(x,y):y\in A\}$. Ya que para todas las $x_1,x_2,y\in X$ hemos $$ \rho(x_1,y)\leq\rho(x_2,y)+\rho(x_1, x_2) $$ a continuación, después de tomar infimum tenemos $$ \rho(x_1,A)\leq\rho(x_2,y)+\rho(x_1, x_2) $$ a continuación, después de tomar infimum una vez más vemos $$ \rho(x_1,A)\leq\rho(x_2,A)+\rho(x_1, x_2) $$ Del mismo modo, podemos demostrar que $$ \rho(x_2,A)\leq\rho(x_1,A)+\rho(x_1, x_2), $$ por lo $|\rho(x_1,A)-\rho(x_2,A)|\leq\rho(x_1, x_2)$. Ahora, para cada una de las $\varepsilon>0$$\delta=\varepsilon$. A continuación, para todos los $x_1,x_2\in X$ tal que $\rho(x_1,x_2)< \delta$ we have $|\rho(x_1,A)-\rho(x_2,A)|<\varepsilon$. Thus $\rho(\cdot,A):X\to\mathbb{R}_+$ no sólo continua, pero de Lipschitz continua de Lipschitz con constante 1.
En esta prueba, closedness de $A$ es innecesario.
Lorin Hochstein
Puntos
11816
Deja$x\in X$ y deja$d(x,F)=r$. queremos mostrar que para todos$\epsilon\gt 0$ existe$\delta\gt 0$ tal que si$d(x,y)\lt \delta$, entonces$|d(y,F)-r|\lt\epsilon$.
Dejar $d(y,F)=s$. Entonces para cada$\gamma\gt 0$ existe$f_1\in F$ tal que$d(x,F)=r\leq d(x,f_1)\lt r+\gamma$. Por lo tanto,$$d(y,F) \leq d(y,f_1)\leq d(y,x)+d(x,f_1) \lt d(y,x)+r+\gamma$ $ so$$d(y,F)-r \leq d(y,x)+\gamma.$ $ Por otra parte,$d(x,F) \leq d(x,f_1) \leq d(x,y)+d(y,f_1) \leq d(x,y)+d(y,F)$, así que$$d(y,F) \geq d(x,F)-d(x,y) \geq d(x,F)-d(x,y)-\gamma,$ $ espero que sea suficiente?
