¿Qué son las ecuaciones de Hamilton con respecto a una forma simpléctica no estándar?

Question

Ecuaciones de Hamilton para un hamiltoniano $H(q,p)$ con respecto a una simpléctica estándar de $\omega = dq \wedge dp$ son $$\dot{q} = \partial H_{p}, \quad \dot{p} = - \partial H_{q}$$

Cómo se escriben las ecuaciones de Hamilton con una forma simpléctica no estándar $F(q,p) dq \wedge dp$ , donde $F(q,p)$ es alguna función suave?

Answer 1

1. De forma más general, sea dada una Colector de Poisson $(M,\pi)$ , donde $$\pi ~=~ \frac{1}{2} \pi^{IJ} \frac{\partial}{\partial z^I} \wedge \frac{\partial}{\partial z^J} $$ es un bi-vector de Poisson, y $$\{ f, g\}_{PB}~=~\frac{\partial f}{\partial z^J}\pi^{IJ}\frac{\partial g}{\partial z^J} $$ es el correspondiente soporte de Poisson. Sea el hamiltoniano $H$ sea una función definida globalmente en $M$ . Entonces las ecuaciones de Hamilton dicen $$ \dot{z}^{I}~=~\{ z^I, H\}_{PB}, $$ es decir, la evolución del tiempo viene dada por (menos) el Campo vectorial hamiltoniano $$ X_H~=~\{H,\cdot\}_{PB}. $$

2. Si la estructura de Poisson es invertible, entonces $M$ es un colector simpléctico con una 2 forma simpléctica $$\omega ~=~\frac{1}{2} \omega_{IJ}~ \mathrm{d}z^I \wedge \mathrm{d}z^J,$$ donde $\omega_{IJ}$ es la matriz inversa: $$ \pi^{IJ}\omega_{JK}~=~\delta^I_K. $$

3. En canonical/ Darboux coordenadas $$ (z^1, \ldots, z^{2n})~=~(q^1, \ldots, q^n,p_1,\ldots, p_n) ,$$ la construcción anterior se reduce al bi-vector de Poisson estándar $$\pi~=~\frac{\partial}{\partial q^i} \wedge \frac{\partial}{\partial p_i},$$ y la 2 forma simpléctica estándar $$\omega ~=~ \mathrm{d}p_i \wedge \mathrm{d}q^i.$$

Answer 2

Un hamiltoniano $H:M\rightarrow \mathbb{R}$ define un campo vectorial $X_H$ mediante la ecuación \begin{equation} \omega(X_H,\cdot)=dH. \end{equation} Para $\omega=F(q,p)dq\wedge dp$ y sustituyendo los componentes $X_H=X_{Hq}\partial_q+X_{Hp}\partial_p$ obtenemos \begin{equation} F(q,p)(X_{Hq}dp-X_{Hp}dq)=(\partial_qH)dq+(\partial_pH)dp. \end{equation} Las curvas integrales $t\mapsto(q(t),p(t))$ del campo vectorial $X_H$ representan el flujo hamiltoniano del sistema. Por lo tanto, tenemos \begin{align} \dot{q}=\frac{\partial_qH}{F(q,p)};\;\;\; \dot{p}=-\frac{\partial_pH}{F(q,p)}; \end{align}