Muestran que

Question

Si$x$ es una fracción correcta positiva. Prueba que$$(1+x)^{1-x}(1-x)^{1+x}<1$ $

En realidad esta pregunta tiene dos partes que no puedo hacer la parte$1^{st}$ pero la parte$2^{nd}$ fue bastante fácil con respecto al$1^{st}$ uno. El$2^{nd}$ debe mostrar que$$a^bb^a<(\frac{a+b}{2})^{a+b} $$ I observe that if $ 1 ^ {st}$ is true then if I will put $% Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Answer 1

Esbozo: $$ (1 x) ^ {1-x} (1-x) ^ {1 x} = (1 x) ^ {1-x} (1-x) ^ {1-x} 1-x) ^ {2x} = (1-x ^ 2) ^ {1-x} (1-x) ^ {2x} $$ Dado que ambos$1-x^2<1$ y% son positivos), este es un producto de términos menos de$1-x<1$.

Answer 2

Yo usaría aquí la desigualdad$(1 + x) \leqslant e^x$. Esto nos da \begin{split} (1+x)^{1-x}(1-x)^{1+x} &\leqslant (e^x)^{1-x}(e^{-x})^{1+x} \\ &= e^{x-x^2}e^{-x-x^2} \\ &= e^{-2x^2} \\ &= \left(\frac{1}{e}\right)^{2x^2} \\ &< 1,\quad x>0 \end {split}

Answer 3

Dado que$\log$ es cóncavo, $$ \begin{align} \frac{1-x}2\log(1+x)+\frac{1+x}2\log(1-x) &\le\log\left(\frac{1-x}2(1+x)+\frac{1+x}2(1-x)\right)\\ &=\log\left(1-x^2\right) \end {align} $$ Por lo tanto, $$ \ color {# 090} {(1 x) ^ {1-x} (1-x) 1 x}} \ le \ color {# C00} {\ izquierda (1-x ^ 2 \ derecha) ^ 2} $$

Answer 4

Sólo necesitamos probar:$$(1-x)\ln{(1+x)}+(1+x)\ln{(1-x)}<0$$ $$\Longleftrightarrow \frac{\ln{(1+x)}}{1+x}+\frac{\ln{(1-x)}}{1-x}<0$ $ Por lo tanto, necesitas una función:$$f(x)=\frac{\ln{(1+x)}}{1+x}$ $ Espero que sea útil para ti