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Question

Estoy tratando de encontrar

ps

Mi primera conjetura es mirar los factores recíprocos y aislados:

$$\lim \limits_{n \to \infty}{1*4*7*\dots(3n+1) \over 2*5*8* \dots (3n+2)}$ $ Ahora tomamos el registro natural:$${2 \over 1}{5 \over 4}{8 \over 7} \dots {3n+2 \over 3n+1}= {\left(1+1\right)}\left(1+{1 \over 4}\right)\left(1+{1 \over 7}\right) \dots \left(1+{1 \over 3n+1}\right)$ $ Usando$$\ln{ + \ln\left(1+1\right)} + \ln\left(1+{1 \over 4}\right) +\ln\left(1+{1 \over 7}\right) \dots +\ln\left(1+{1 \over 3n+1}\right)$, obtenemos:$\ln(1+x) \le x$ $ Ahora, estoy atascado. Supongo que podría usar el hecho de que el RHS es similar a la serie armónica y mostrar que converge a algún registro, pero no estoy seguro de cómo hacerlo. ¿Tiene alguna pista?

Answer 1

Estás en el camino correcto. Utilice la desigualdad$\ln(1+x)\ge x-x^2/2$ para% #%: $ \ sum_ {k = 0} ^ n \ ln \ Bigl (1 \ frac1 {3 \, k 1} \ Bigr) \ ge \ sum_ \ frac {1} {\ 3 \, k 1} - \ frac12 \, \ frac {1} {(3 \, k 1) sum_ {k = 1} ^ n \ frac {1} {3 \, k 1} - \ frac12 \ suma {k = 1} . $$ La primera suma va a$x\ge0$ porque la serie$+\infty$ es divergente, y la segunda suma está limitada porque la serie$\sum_{k=0}^\infty1/(3\,k+1)$ es convergente. Esto significa que el límite original es igual a$\sum_{k=0}^\infty1/(3\,k+1)^2$.

Answer 2

Si he entendido su pregunta correctamente, usted está tratando de encontrar el límite de$\frac{3n+1}{3n+2}$. Al reconocer que esto es igual a$\frac{3n+2}{3n+2} - \frac{1}{3n+2}$, lo que simplifica a$1-\frac{1}{3n+2}$ se puede ver fácilmente que el límite como n se acerca al infinito es uno como el denominador del término$\frac{1}{3n+2}$ crece arbitrariamente grande.