¿Existe un% alfa algébrico$K$ - álgebra$A$ que no es un campo?

Question

Existe un teorema bien conocido que indica que si$A$ es un álgebra$K$ - generada finitamente, un dominio integral y algebraico sobre$K$, entonces$A$ es un campo. ¿Es necesaria la condición de dominio integral? Quiero decir, ¿hay un ejemplo de un álgebra algebraica sobre$K$, tal que no es un campo? Puede ser algo sencillo, pero estoy un poco confundido. Gracias.

Answer 1

Por supuesto. Considere$A=\mathbb R[x]/(x^2)$, que es generado por$\{1,x\}$ sobre$\mathbb R$ y es algebraico sobre$\mathbb R$ ya que claramente no es un dominio integral por lo tanto no es un campo.

Answer 2

Otro ejemplo es dado por$K\times K$ (el anillo del producto, pensado como$K$ - álgebra a través de la incrustación diagonal de$K$). Cualquier grado dos ejemplo es de esta forma, o de la forma$K[x]/(x^2)$ considerada en las otras respuestas.

Answer 3

Después de todas estas respuestas, esto no es mucho más que un comentario realmente. Se finitely generado por algebraica de elementos sobre los $K$ implica (y es equivalente a) ser finito dimensional como un espacio vectorial sobre $K$. Y un conmutativa $K$ álgebra que es finito dimesional es un campo si y sólo si se trata de una integral de dominio, tanto en la misma forma como de un número finito de anillo conmutativo es un campo si y sólo si se trata de una integral de dominio. En ambos casos, la finitud de la condición asegura que para la operación de la multiplicación por un elemento fijo de inyectividad implica surjectivity, en otras palabras regulares elementos son invertible. Y como en los ejemplos que muestran que no hay manera de que usted puede tomar de inyectividad por sentado: anillos con divisores de cero son muy fáciles de construir.

Yo podría añadir que si se le cae la condición de "integral de dominio", después de la $K$-álgebra que ni siquiera necesita ser commutatitive, y desde entonces (en inglés terminología) campos se supone que commutatitive, los cuaterniones sería otro contraejemplo a su conjetura.

Answer 4

Para cualquier campo$K$, el álgebra$A=K[x]/(x^2)$ es un álgebra generado finitamente$K$ - que es algebraico sobre$K$, pero que no es un dominio integral y ciertamente no es un campo.

Answer 5

Aquí es una gran clase de los ejemplos que vienen a partir de una estructura teorema. Supongamos que restringimos nuestra atención a lo finito-dimensional conmutativa álgebras sobre un campo $k$ (estos son automáticamente tanto finitely generado y algebraicas). Tales álgebras son Artinian, y una estructura teorema afirma que todos los Artinian anillos son finitos productos directos de Artinian local de los anillos. Ejemplos finito-dimensional conmutativa $k$ incluyen finito productos directos de los anillos de la forma $k[x]/x^n$, o más generalmente, $K[x]/x^n$ donde $K$ es una extensión finita de $k$.