¿Cómo puede ser el área de superficie de una esfera exactamente 4 veces el área de su área transversal? Esto parece demasiado limpio; ¿por qué 4?
Si cortara 4 círculos delgados desde el centro de una esfera y los pegara juntos (y pudiera darles forma), ¿terminaría con otra esfera hueca?
Aquí el $4\pi$ debe ser visto no como $4$ veces $\pi$ sino más bien como $2$ veces $2\pi$ y luego hay una explicación geométrica razonablemente agradable. Es decir, si proyectas la esfera sobre, digamos, el eje $z$, entonces la imagen inversa de cada pequeño subsegmento de $[-1,1]$ tendrá un área de $2\pi h$ donde $h$ es la longitud del subsegmento. Esto se ve particularmente claro en el caso de un pequeño subsegmento alrededor de $0$, en cuyo caso obtienes una delgada franja que es aproximadamente el producto de la ecuador (de longitud $2\pi$) por un segmento de longitud $h$. Por lo tanto, el área total es $2 \times 2\pi = 4\pi$.
Cuatro discos unitarios tienen la misma área que la esfera unitaria, pero no puedes unirlos sin distorsionarlos para formar la esfera. Una forma de verlo es en términos de un invariante métrico llamado curvatura gaussiana (este invariante se anula para el disco pero es igual a 1 para la esfera).
Si consideras una sección transversal de la esfera a una altura $h$ por encima del plano ecuatorial, obtienes un círculo de radio $\sqrt{r^2-h^2}$ y circunferencia $2\pi\sqrt{r^2-h^2}$.
Luego puedes ser tentado a concluir que el área de la esfera es el perímetro promedio de $-r$ a $r$, lo que resultaría en $\pi^2r^2$.
Pero debes tener en cuenta que la superficie no es vertical sino oblicua y hay un factor de corrección igual a la secante del ángulo de la normal, o $\dfrac r{\sqrt{r^2-h^2}}$.
Así que después de simplificar, simplemente estás integrando $2\pi r$ de $-r$ a $r, lo que explica el factor $4$.
Una interpretación geométrica es decir que cualquier rodaja de pequeña altura $\delta h$ en una esfera ¡tiene la misma área!
"Entonces después de la simplificación simplemente estás integrando 2r de r a r", ¿puedes explicar esto con más detalle? Si r es constante, eso sería el área de la superficie de los lados de un cilindro, ¿no es así? Si te referías a 2pi h eso... solo sería un factor de 2 ya que la integral de (h) es h^2/2. Pero no puedes estar queriendo decir eso ya que sería la superficie de un cono.
@fleablood: los factores $\sqrt{r^2-h^2}$ sí se simplifican, y el área es realmente la del cilindro que tangencia la esfera, por más contraintuitivo que parezca. Por ejemplo, toma la última rebanada cerca del polo, de $r-h$ a $r$: aproximadamente produce un círculo de área $\pi(r^2-(r-\delta)^2)\approx2\pi r\delta$, al igual que todas las demás rebanadas.
No creo que fuera intuitivo para mí "promediar" los círculos (lo que honestamente nunca se me ocurrió) tanto como integrar las circunferencias que cambian constantemente. Un error común sería asumir que, como h y $\sqrt {r^2-h^2} $ aparecen de manera intercambiable (no lo son), sus integrales son iguales. Pero eso produciría un cono. Se reduce a $\int_{0}^1\sqrt {1-x^2}dx $=1, donde decidí que mi respuesta ya no era "intuitiva", así que dejé de escribir mi respuesta. Normalizar promedios parece un enfoque interesante, pero de todos modos no fue intuitivo para mí.
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Ten en cuenta que tu primera esfera era sólida y tu esfera construida era hueca. Por lo tanto, la "magia" de hacer una nueva esfera a partir de una pequeña sección transversal de una esfera ya no es tan paradójica como crear una enorme pirámide a partir de 4 triángulos planos. En cuanto al por qué 4... Bueno... cálculo...
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@fleablood, pero un cubo de 6 cuadrados ...
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Correcto, no estaba abordando la pregunta "por qué 4" sino el problema de "si corto una sección pequeña para el centro puedo recrear la esfera". Asumí que esto parecía paradójico para el OP (de lo contrario, ¿por qué lo habría preguntado?).