Demostrar que la suma y la diferencia de dos cuadrados (no iguales a cero) no pueden ser ambas cuadrados.

Question

Tengo la siguiente tarea:

Demuestra que la suma y la diferencia de dos cuadrados (no iguales a cero) no pueden ser ambas cuadrados.

Para la suma, pensé en los triples pitagóricos: $x^2+y^2=z^2$ funciona para una cantidad infinita de números, pero ¿por qué no puede ocurrir también para la suma y la diferencia?

Intenté escribir esto:

Supongamos que $a^2>b^2$ . Entonces $a^2+b^2=c^2$ y $a^2-b^2=d^2$ . Sumando la ecuación de la izquierda y la de la derecha, obtenemos $2a^2=c^2+d^2$ . Sólo estoy atascado probar por qué esto no puede ocurrir. ¿Alguna idea? Gracias por vuestra ayuda.

Answer 1

Si uno tiene $a^2+b^2=c^2$ y $a^2-b^2=d^2$ entonces se tiene $a^4-b^4=(cd)^2$ .

Se sabe que esto es imposible. Véase, por ejemplo, aquí .

Answer 2

Se trata de un corolario de un viejo teorema perdido de Fibonacci, que tiene una bonita demostración por descendencia.

El teorema perdido de Fibonacci $ $ El área de una integral triángulo pitagórico no es un cuadrado perfecto.

A cuadrado progresión aritmética (SAP) es un AP $\rm\ x^2,\ y^2,\ z^2\ $ con un tamaño de paso cuadrado $\rm\, s^2,\, $ a saber $$\rm\ x^2\ \ \xrightarrow{\Large s^2}\ \ y^2\ \ \xrightarrow{\Large s^2}\ \ z^2$$

Naturalmente, todo SAP lleva asociado un "medio triángulo cuadrado", es decir, la duplicación $\rm\ z^2 + x^2\ $ produce un triángulo de área cuadrada $\rm\ s^2,\, $ a saber $\rm\ (z + x)^2 + (z - x)^2\, =\ 2\ (z^2 + x^2)\ =\ 4\ y^2\ $

que de hecho tiene $\ $ zona $\rm\, =\ (z + x)\ (z - x)/2\ = \ (z^2 - x^2)/2\ =\ s^2\ $

Teniendo en cuenta estos conceptos, la prueba es muy fácil: Si existe un triángulo pitagórico con área cuadrada, entonces puede primitivizarse y su área sigue siendo cuadrada. Sea su parametrización primitiva primitiva sea $\rm\:(a,b)\:$ y que su área sea $\rm\:c^2,\:$ a saber

$$\rm\ \frac{1}2\ leg_1\ leg_2\, =\ \frac{1}2\ (2\:a\:b)\ (a^2-b^2)\ =\ (a\!-\!b)\ a\ (a\!+\!b)\ b\ =\ c^2 $$

Desde $\rm\:a\:$ y $\rm\:b\:$ son coprimos de paridad opuesta, $\rm\ a\!-\!b,\ a,\ a\!+\!b,\ b\ $ son factores coprimos de un cuadrado, por lo que todos deben ser cuadrados. Por lo tanto $\rm\ a\!-\!b,\ a,\ a\!+\!b\ $ forman un SAP; doblando su medio triángulo cuadrado se obtiene un triángulo con un área cuadrada menor $\rm\ b < c^2,\ $ de ahí el descenso. $\ \ $ QED

Observación $ $ Esta construcción de duplicación es antigua - ya en Euclides. Se puede como una composición de formas cuadráticas $\rm\ (z^2 + x^2)\ (1^2 + 1^2)\:. $