Cómo probar esta desigualdad $(a+b)^rb^{2n-r}\le\dfrac{n}{4}+r,$

Question

que $a,b>0$, y positivas números enteros, tal $n\ge 4$ $(a+b)^{2n}=2n+\dfrac{n}{4},a^{2n}=\dfrac{n}{4}$

Mostrar que %#% $ #%

parece difícil para el caso de $$(a+b)^rb^{2n-r}\le\dfrac{n}{4}+r,\forall r\in[0,2n]$. muestran esta desigualdad $n=4$

es que suficiente Mostrar

$3^{\frac{n}{4}}\cdot (3^{\frac{1}{4}}-1)^{8-n}\le 1+n$ $ o $$((a+b)^{2n})^r(b^{2n})^{2n-r}\le\left(\dfrac{n}{4}+r\right)^{2n}$ $ parece difícil demostrar que

Answer 1

Siguiendo la sugerencia dada por el invitado, consideramos $f(r):=(a+b)^rb^{2n-r}$, y tenemos que demostrar que $f(r)\le \frac n4 + r$ todos los $r\in[0,2n]$.

Escribimos $f(r)=\left(\frac ab +1\right)^rb^{2n}$, $f'(r)=\left(\frac ab +1\right)^rb^{2n}ln\left(\frac ab +1\right)$ y $$ f"(r)=\left(\frac ab +1\right)^rb^{2n}\left(ln\left(\frac ab +1\right)\right)^2>0. $$ Por lo $f(r)$ es una función convexa, por lo tanto, para todos los $t\in [0,1]$, tenemos $$ f(t\cdot 2n+(1-t)\cdot 0)\le tf(2n)+(1-t)f(0). $$ Ahora tenemos $f(2n)=\frac n4+2n$$f(0)=b^{2n}=\frac n4(3^{1/n}-1)^{2n}<\frac n4$. Establecimiento $t:=\frac{r}{2n}$ obtenemos $$ f(r)=f(t\cdot 2n+(1-t)\cdot 0)\le \frac r{2n}\left(\frac n4+2n\right)+\left(1-\frac{r}{2n}\right)\frac n4=r+\frac n4, $$ como se desee.