Encontrar polinomios : $ xP(x-1)=(x-11)P(x)$

Question

Encontrar todos los polinomios $P(x) \in\mathbb{R}[x]$ satisfaciendo $$ xP(x-1)=(x-11)P(x)$$

(El intento de trabajo se ha trasladado a la respuesta)

Answer 1

Sustituir $x=0$ tenemos $P(0)=0$ y sustituirlo por $x=11$ tenemos $P(10)=0$ ,

así que $P(x)$ tiene $0$ y $10$ como sus raíces, es decir, $\exists Q(x)$ , $P(x)=x(x-10)Q(x)$

Desde $ xP(x-1)=(x-11)P(x)$ Así que $x(x-1)(x-11)Q(x-1)=(x-11)x(x-10)Q(x)$

así, $(x-1)Q(x-1) = (x-10)Q(x)$ ---[2]

Del mismo modo, sustituya $x=1$ y $x=10$ en [2], $P(x)$ tiene $1$ y $9$ como sus raíces.

$\exists R(x)$ , $Q(x)=(x-1)(x-9)R(x)$ sustituto en [2], tenemos

$R(x-1)(x-1)(x-2)(x-10)=(x-10)(x-1)(x-9)R(x)$

así que $R(x-1)(x-2)=(x-9)R(x)$

Por último, tenemos $A(x)=A(x+1)$ , $\forall x \in \mathbb{R}$

Desde $A$ es una función continua por lo que $A(x) = c$ , $\forall x \in \mathbb{R}$

Por lo tanto, $P(x)=c(x)(x-1)(x-2)\ldots(x-10)$ , donde $c$ es constante.

Answer 2

Tenemos $$\frac{P(x)}{P(x-1)} = \frac{Q(x)}{Q(x-m)}$$ Considere $S(x) =Q(x)Q(x-1) \cdots Q(x-m-1)$ entonces tenemos $$\frac{P(x)}{P(x-1)} = \frac{S(x)}{S(x-1)}$$ o $$\frac{P(x)}{S(x)} = \frac{P(x-1)}{S(x-1)}$$ y así $\frac{P(x)}{S(x)}$ es constante.