Encontrando $a + b + c$ para el $101$ número de la forma $3^a + 3^b + 3^c$ cuando estos números se enumeran en orden creciente

Question

$a,b,c\neq0$ & $a,b,c$ son distintos & $a,b,c\in \mathbb{N}$

números en forma de

$3^a+3^b+3^c$

Si los ordenamos de forma creciente, ¿cuál es la suma de

$a+b+c=?$

para el $101$ ¿es ese número?

Hay algunas cosas que debo aclarar sobre la pregunta que representa un número $3^a+3^b+3^c$ no $3^a,3^b,3^c$ . Estos no representan un número individual.

Dicho esto, podríamos aceptar $a>b>c$ y luego reconocer que $a,b,c\in \left\{ 0,1,2,3,\cdots,n \right\}$ . Hay $\dbinom{n+1}{3}$ opciones posibles para $n$ . Por lo tanto, $n$ debe dar un número mayor que $101$ . He elegido $\dbinom{10}{3}=120$ Así que $n=9$ . Pero también he utilizado $\dbinom{9}{3}=84$ para saber qué número es $3^9+3^1+3^0$ (es el $84$ ). No he podido detectar cómo proceder para conseguir el $101$ ¿número? ¿Qué propones?

Answer 1

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $a > b > c$ .

Consideremos la ordenación lexicográfica;
escribiremos $(a,b,c) > (a',b',c')$ , si se produce una de las siguientes situaciones:

• $a > a'$ o

• $a=a' $ y $b > b'$ o

• $a=a' $ y $b=b' $ y $c > c'$ .

---

---

Nota: : Consideremos dos triples ordenados $(a,b,c) , \ (a',b',c')$ ;
es decir $a > b > c$ y $a' > b' > c'$ . Entonces: $$ 3^a+3^b+3^c > 3^{a'}+3^{b'}+3^{c'} \Longleftrightarrow (a,b,c) > (a',b',c'). $$

---

Como se ha dicho;
$3^9+3^1+3^0$ es mayor que $3^a+3^b+3^c $ por cada $\{ a,b,c \} \subset \{ 0, 1, 2, ..., 8 \}$ .
Observe también que hay $84 = {9 \choose 3}$ opciones para $\{ a,b,c \}$ ; así que $3^9+3^1+3^0$ está en el $85^{\text{th}}$ -lugar.

---

$3^9+3^6+3^0$ es mayor que $3^9+3^b+3^c $ por cada $\{ b,c \} \subset \{ 0, 1, 2, ..., 5 \}$ .
Observe también que hay $15 = {6 \choose 2}$ opciones para $\{b,c \}$ ; así que $3^9+3^6+3^0$ está en el $1+15+84=100^{\text{th}}$ -lugar.

---

Finalmente se puede comprobar fácilmente que $3^9+3^6+3^1$
está en el $101^{\text{th}}$ -lugar.

---

---

---

---

Cómo encontrar el número, en el $m^{\text{th}}$ -¿Lugar?
Un algoritmo eficaz para el problema anterior es el siguiente:

• Encontrar el mayor entero $a \in \mathbb{N}_0$ tal que ${a \choose 3} \leq m-1$ .

• Encontrar el mayor entero $b \in \mathbb{N}_0$ tal que ${b \choose 2} \leq m-{a \choose 3}-1$ .

• Encontrar el mayor entero $c \in \mathbb{N}_0$ tal que ${c \choose 1} \leq m-{a \choose 3}-{b \choose 2}-1$ ;
  es decir $c=m-{a \choose 3}-{b \choose 2}-1$ .

Se puede comprobar que $3^a+3^b+3^c$
está en el $1+{c \choose 1}+{b \choose 2}+{a \choose 3}=m^{\text{th}}$ -lugar.

Answer 2

Esta pregunta equivale a encontrar el 101º número de base 3 formado sólo por 0 y 1 (ya que a b y c son distintos) con exactamente tres 1, por la razón de que $3>2$ y el binario cubre cada uno de los enteros una vez. Por lo tanto, esto también equivale a encontrar el 101º número binario con tres 1s.

Ahora, para encontrar este número, tendremos que golpearlo. La forma de elegir tres 1's entre 10 0's o 1's es la primera que excede de 100 con un valor de 120, por lo que ahora sólo podemos contar hacia atrás.

Hay 8 números (120-113) de la forma $$11xxxxxxxx$$ 7 del formulario (112-106) $$101xxxxxxx$$ Así que ahora podemos contar hacia atrás. $$105:1001100000$$ $$104:1001010000$$ $$103:1001001000$$ $$102:1001000100$$ $$101:1001000010$$ Ahora tenemos que encontrar a+b+c, que es la suma de las posiciones, por lo que tenemos $$1+6+9=16$$ Que es nuestra respuesta si a,b,c puede ser 0. Si no, es 16+3=19.

Answer 3

En la parte superior de su pregunta dice $a,b,c\neq 0$ pero luego el resto de lo que dices parece incluir la posibilidad de que uno de ellos pueda ser $0$ . Voy a suponer que $0$ no está permitido en lo que sigue. Obviamente, si se incluye $3^0$ como una posible potencia la respuesta será diferente, pero el método es el mismo.

Como tú dices, $\binom 93=84$ y $\binom{10}3=120$ . Así que hay $84$ números de la forma $3^a+3^b+3^c$ donde $a,b,c$ son elementos distintos de $\{1,2,...,9\}$ y otro $36$ si permitimos $10$ . Todos ellos son menos de $3\times3^{10}=3^{11}$ Así que estos son los primeros $120$ números de la forma $3^a+3^b+3^c$ donde $a,b,c$ son enteros positivos distintos.

Cualquier opción de $a,b,c$ donde el mayor es $10$ será mayor que cualquier opción en la que todos sean menos que $10$ Así pues, el $84$ donde todas las potencias son como máximo $9$ primero, y luego quieres que el $17$ número de la forma $3^{10}+3^b+3^c$ , donde $b,c$ son enteros positivos distintos menores que $10$ .

Pista para terminar a partir de aquí: ¿cuántas opciones de $b,c$ están ahí si $b,c\in\{1,2,...,6\}$ ?