Pregunta sobre la derivada de $\cos(x)$ .

Question

La cuestión es cómo mostrar la derivada de $\cos x$ es $-\sin x$ utilizando la definición de la derivada.

Hago esta prueba de la forma normal utilizando la suma de $\cos (x+h)$ usando la identidad trigonométrica, y luego factorizando el $\cos x$ y utilizando dos teoremas especiales de exprimido. Obtengo la respuesta correcta de $-\sin x$ .

Así es como lo hace y parece ilegal:

$$\lim_{h \mapsto 0 } \frac{(\cos x)(\cos h)-(\sin x)(\sin h) -\cos x}h $$ luego dice en el NUMERADOR, dejando que $ h=0$ hace que el numerador se convierta

$\cos x (1)-\sin x\sin h-\cos x$ Fíjese que acaba de dejar selectivamente que el $\cos h$ término han $h$ ir a cero pero NO el $\sin h$ ¡¡¡Término!!!

Los dos $\cos x $ términos se anulan dejando $\lim_{h \mapsto 0 }-\sin x\sin h/h$ y utiliza la forma de apretar para obtener $-\sin x (1)$

Pero no veo cómo es legal dejar que $h=0$ para algunos términos del numerador sin tener en cuenta el denominador. Obtiene la respuesta correcta, pero me parece ilegal. ¿Qué opinas?

Answer 1

\begin{align} & \lim_{h\to0}\frac{(\cos x)(\cos h)-(\sin x)(\sin h) -\cos x}h \\[12pt] = {} & (\cos x)\,\, \underbrace{\lim_{h\to0} \left( \frac{(\cos h) -1} h \right)}_\text{first limit} - (\sin x)\,\, \underbrace{\lim_{h\to0} \left( \frac{\sin h} h \right)}_\text{second limit} \end{align} El primer límite es $0$ y la segunda es $1$ .

Así se hace. No debería dejar que $h=0$ en el numerador dejando $h$ en el denominador. El hecho de que el primer límite sea $0$ no puede demostrarse simplemente mostrando que el límite del numerador es $0.$ Si eso fuera válido, el mismo argumento demostraría que el segundo límite es $0,$ y eso está mal.

Answer 2

Puede que tu profesor no lo esté formulando con cuidado o lo suficientemente bien. Lo que hacemos es escribir el límite como

$$ \lim_{h \to 0} \frac{(\cos x)(\cos h) - (\sin x)(\sin h) - \cos x}{h} = \lim_{h \to 0} \left[ \cos x \left( \frac{\cos h - 1}{h} \right) - \sin x \left( \frac{\sin h}{h} \right) \right] $$

y usamos nuestras reglas de límites:

$$ \lim_{h \to 0} \left[ f(h) - g(h) \right] = \left[ \lim_{h \to 0} f(h) \right] - \left[ \lim_{h \to 0} g(h) \right] $$

siempre que existan los límites.

Así

$$ \hspace{-2cm} \lim_{h \to 0} \left[ \cos x \left( \frac{\cos h - 1}{h} \right) - \sin x \left( \frac{\sin h}{h} \right) \right] \\ \qquad= \left[ \lim_{h \to 0} \cos x \left( \frac{\cos h - 1}{h} \right) \right] - \left[ \lim_{h \to 0} \sin x \left( \frac{\sin h}{h} \right) \right] \\ \qquad = \left[ \cos x \lim_{h \to 0} \left( \frac{\cos h - 1}{h} \right) \right]-\left[ \sin x \lim_{h \to 0} \left( \frac{\sin h}{h} \right) \right] $$

Y ahora usamos los límites

$$ \lim_{h \to 0} \left( \frac{\cos h - 1}{h} \right) = 0 \text{ and } \lim_{h \to 0} \left( \frac{\sin h}{h} \right) = 1 $$

para obtener

$$ \lim_{h \to 0} \left[ \cos x \left( \frac{\cos h - 1}{h} \right) - \sin x \left( \frac{\sin h}{h} \right) \right] = - \sin x. $$

Answer 3

Respeto a otras soluciones pero prefiero esta $$\lim_{h\to0}\dfrac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}=\lim_{h\to0}\dfrac{-2\sin(x+\frac{h}{2})\sin(\frac{h}{2})}{h}=-\sin(x)$$