Trata de encontrar el período de una función que satisface $f(x-2)+f(x+2)=f(x)$.

Question

Tuve un problema con resolver el siguiente;

$f(x-2)+f(x+2)=f(x)$ He intentado que se vea como $f(x+T)=f(x)$ pero yo no. Sobre todo tengo dificultad en la solución de este tipo de problemas. ¿Lo que sugieres que debo hacer?

Answer 1

Sugerencia. Tenemos que $$f(x+2)+f(x+6)=f(x+4) $ $ y $$ f(x)+f(x+4)=f(x+2) .$ $ añadiéndolos, conseguimos %#% $ #%
Por lo tanto $$ f(x)+f(x+6)=0\implies f(x+6)=-f(x).$$$f(x+12)=f((x+6)+6)=-f(x+6)=f(x)$x $ for any real $ 12$.

Answer 2

Usando esta, la ecuación característica de $$f(x+2)-f(x)+f(x-2)=0$ $

$t^4-t^2+1=0, t=e^{(2m+1)\pi i/6}$ donde $m=0,2,3,5$

$$\implies f(x)=\sum_{m=\{0,2,3,5\}}A_me^{(2m+1)\pi ix/6}$$

Ahora si necesitamos $f(x)=f(x+T)\forall x,$ %#% $ #%

$$e^{(2m+1)\pi ix/6}=e^{(2m+1)\pi i(x+T)/6}$

$\implies\dfrac{(2m+1)\pi T}6\equiv0\pmod{2\pi}$

Necesitamos $\iff(2m+1)T\equiv0\pmod{12}$ $(2m+1,12)=1$ %#% $ #%