Demuestre que, para dos enteros cualesquiera $a$ y $b$ al menos una de las expresiones $a^3, b^3, a^3+b^3$ o $a^3-b^3$ será divisible por $7$ .

Question

Este es un problema de palabras muy interesante que encontré en un antiguo libro de texto mío:

Demuestre que, para dos enteros cualesquiera $a$ y $b$ al menos una de las expresiones $a^3, b^3, a^3+b^3$ o $a^3-b^3$ será divisible por $7$ .

Sé que tiene algo que ver con la función totiente de Euler y el teorema de Euler-Fermat, que produce las pruebas más cortas y sencillas, pero aparte de eso, el libro de texto no dio ninguna pista y no estoy seguro de cómo enfocarlo. Cualquier pista de orientación o ayuda sería muy apreciada. Gracias de antemano.

Answer 1

Si $a$ o $b$ es un múltiplo de 7 entonces es obvio, si no $a^6\equiv b^6 \equiv 1 \pmod 7$ y $(a^3+b^3)(a^3-b^3)=a^6-b^6\equiv 0 \pmod 7$ . Como 7 es primo, divide $a^3+b^3$ o $a^3-b^3$ .

Answer 2

Una pista:

Tenga en cuenta que, $a^3\equiv 0,1^3,2^3,3^3,4^3,5^3,6^3(\mod 7)\Rightarrow a^3\equiv 0,1,1,-1,1,-1,-1(\mod 7)$

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Más explicaciones :

Entonces $7\mid a\Rightarrow 7\mid a^3$ o $7\mid b\Rightarrow 7\mid b^3$ .

Si $7$ no divide nada de $a,b$ Entonces, o bien $a^3+b^3\equiv 0(\mod 7)$ o $a^3-b^3\equiv 0(\mod 7)$ .

Answer 3

Sólo $\overline1$ y $\overline6$ presentarse para $c^3$ si $c\neq\overline0$ (trabajando en $\mathbb Z_7$ ).

Esto implica: $$\overline0\in\{a^3,b^3,a^3+b^3,a^3-b^3\}$$

Answer 4

Dejemos que $p$ sea un número primo impar, entonces para cualquier número entero arbitrario $a$ tenemos: $$ \color{Blue} { a^{\dfrac{p-1}{2}}\overset{p}{\equiv}\pm1\ \ \text{or} \ \ 0. } $$

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Su pregunta se refiere al caso especial $p=7$ ; en este caso tenemos $\dfrac{p-1}{2}=3$ .

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Observación(I): $x^2 \overset{p}{\equiv}1 \Longleftrightarrow x \overset{p}{\equiv}\pm1$ .

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Observación(II):

• Si $p \mid a$ entonces $p \mid a^{\dfrac{p-1}{2}}$ .

• Si $p \nmid a$ entonces $a^{p-1} \overset{p}{\equiv}1$ .
  Ahora dejemos que $x:=a^{\dfrac{p-1}{2}}$ ; sabemos que $x^2\overset{p}{\equiv}a^{p-1} \overset{p}{\equiv}1$
  por lo que por la observación(I) podemos concluir que:
  $$a^{\dfrac{p-1}{2}} \overset{p}{\equiv}\pm1.$$

La observación(II) dice que para cualquier número entero arbitrario $a$ tenemos: $$ \color{Blue} { a^{\dfrac{p-1}{2}}\overset{p}{\equiv}\pm1\ \ \text{or} \ \ 0. } $$

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Ahora tenemos los siguientes casos:

• $p \mid a$ o $b \mid p$ ;
  entonces $p \mid a^{\dfrac{p-1}{2}}$ o $p \mid b^{\dfrac{p-1}{2}}.$

• $p \nmid a$ y $b \nmid p$ ;
  si $a^{\dfrac{p-1}{2}} \overset{p}{\equiv} b^{\dfrac{p-1}{2}}$ entonces
  $$a^{\dfrac{p-1}{2}} - b^{\dfrac{p-1}{2}} \overset{p}{\equiv} 0;$$ si $a^{\dfrac{p-1}{2}} \overset{p}{\equiv} -b^{\dfrac{p-1}{2}}$ entonces
  $$a^{\dfrac{p-1}{2}} + b^{\dfrac{p-1}{2}} \overset{p}{\equiv} 0.$$

Answer 5

Siempre hay fuerza bruta:

Si $m \equiv 0 \mod 7$ puis $m^3 \equiv 0 \mod 7$ .

Si $m \equiv \pm 1,\pm 2, \pm 3$ puis $m^3 \equiv \pm 1, \pm 8, \pm 27 \equiv \pm 1, \pm 1, \mp 1 \mod 7$ .

Así que o bien i) $a^3 \equiv 0 \mod 7$ y $7|a^3$ ii) $b^3 \equiv 0 \mod 7$ y $7|b^3$ iii) $a^3 \equiv b^3 \mod 7$ y $7|a^3 - b^3$ o iv) $a^3 \equiv -b^3 \mod 7$ y $7|a^3 + b^3$ .

Pero probablemente sea más práctico señalar:

Para $p$ una prima impar, ya sea $a \equiv 0 \mod p$ y $p|a^{\frac {p-1}2}$ . O $b \equiv 0 \mod p$ y $p|b^{\frac {p-1}2}$ o ninguno de los dos $a$ no $b$ es congruente módulo $p$ así que $a^{p-1}\equiv b^{p-1} \equiv 1 \mod p$ en cuyo caso $a^{p-1}- b^{p-1} = (a^{\frac {p-1}2} + b^{\frac {p-1}2})(a^{\frac {p-1}2} - b^{\frac {p-1}2}) \equiv 0 \mod p$ .

Así que si ninguno de los dos $p|a^{\frac {p-1}2}$ o $p|b^{\frac {p-1}2}$ puis $p|a^{\frac {p-1}2} + b^{\frac {p-1}2}$ o $p|a^{\frac {p-1}2} - b^{\frac {p-1}2}$