Encontrar todos los funciones $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} $ tal que $(m+f(n))(n+f(m))$ es un cuadrado perfecto para todas las $m,n$

Question

Sea $N$ el conjunto de número natural. Encontrar todas las funciones $f: \mathbb N \to \mathbb N$, tales que el número $(m+f(n))(n+f(m))$ cuadrado perfecto para todos los números naturales $m$ y $n$.

Era incapaz de resolver este problema, así que necesito una solución a él, sé que la condición que $(m+f(n))(n+f(m))$ es un cuadrado perfecto implicaría eso si $n = m$ y $f(n) = f(m)$ pero ¿cómo que me ayudaría para resolver el problema?

Answer 1

En esta pregunta, se puede demostrar que la función no es un polinomio. Digamos que $g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_kx^k$. Ahora, vamos a elegir n=1 y $m=a_0+a_1+a_2+....+a_k$. Ahora, su expresión se vuelve $(m+a_0+a_1+.....a_k)*(1+a_0+a_1m+a_2m^2+....+a_km^k)=(m+m)*(1+a_0+a_1m+a_2m^2+....+a_km^k)$.

Ahora, esta expresión es un cuadrado perfecto. Así que, o bien m es en sí mismo un cuadrado perfecto o el número en el segundo soporte es divisible por m. Supongamos que m no es un cuadrado perfecto. Esto significaría que el $a_0+1$ es divisible por m .Esto implicaría que $a_0+1>=m$. Sustituyendo el valor de m , se llega a $a_1+a_2+....a_k<=1$. Ahora, es muy sencillo demostrar que $a_1=1$ o todos son cero. Si cualquier otro coeficiente es 1, entonces usted puede elegir de n=1 y se ve fácilmente que la expresión no forma un cuadrado perfecto para cada m mediante el uso de la identidad de $m^k+1^k=(m+1)*(....)$.

Ahora, supongamos que m es un cuadrado perfecto.Pero también se podría tomar m como $(a_0+a_1+a_2+....+a_k)^2$, lo que hubiera dado que el segundo soporte es divisible por cualquiera de las $(a_0+a_1+a_2+....+a_k)$ o $(a_0+a_1+a_2+....+a_k+1)=t(let's\ say)$ ya que ambos no pueden ser cuadrados perfectos. Ahora, t no es un cuadrado perfecto. El segundo soporte dividiendo $t$ implicaría que $1+a_0-a_1-a_2-....-a_k \equiv 0(mod(t))$. Después de simplificar el uso de la expresión de t, obtendrá $2*(1+a_0)\equiv 0(mod\ t)$.El resto de la prueba desprende de lo anterior.

Answer 2

Sólo hay dos maneras en que $(n+f(m))(m+f(n))$ puede ser un cuadrado perfecto.

1. $(n+f(m))$, $(m+f(n))$ son cuadrados perfectos para cada número natural $n,m$.

2. $(n+f(m))=A=(m+f(n))$ , en cuyo caso $(n+f(n))(m+f(n))=A^2$

La primera forma no puede suceder, porque si $(n+f(m))$ es un cuadrado perfecto, $$((n+1)+f(m))=(n+f(m))+1$ $ no lo es. Usted puede agregar uno a un cuadrado perfecto y conseguir otro cuadrado perfecto aquí está una lista de convencer:

$$1,4,9,16,25,36,49,...$$

Así que la única manera de $(n+f(m))(m+f(n))$ es un número perfecto es si$$n+f(m)=m+f(n)$$ Set $m=n-1$ entonces tenemos

$$n+f(n-1)=(n-1)+f(n)$$

la solución para $f(n)$ nos da $$f(n)=f(n-1)+1$$ Observe que

$$f(n)=f(n-1)+1=f(n-2)+2=...=f(1)+(n-1)$$

Lo que esto significa es que, dado cualquier número natural $c$. $$f(n)=c+(n-1)$$ es una solución. Aquí es una revisión:

$$(m+f(n))(n+f(m))=(m+[c+(n-1)])(n+[c+(m-1)])=(m+n+c-1)^2$$