El Axioma de la Fundación se enunció como:
Todo conjunto no vacío contiene un elemento disjunto de él.
Entonces lo siguiente:
Todo conjunto no vacío $S$ contiene un elemento $x$ tal que ningún elemento $y\in S$ satisface $y\in x$ . Esto significa que $x$ es un $\epsilon$ -elemento mínimo de $S$ .
Por lo tanto, el Axioma de Fundación implica que todo conjunto que es totalmente ordenado bajo $\epsilon$ está bien ordenado bajo $\epsilon$ .
Mi pregunta, por favor, es por qué es "totalmente ordenado bajo $\epsilon$ " ¿es necesario?
Después de todo, si, como se ha dicho antes, todo conjunto no vacío $S$ contiene un $\epsilon$ -y todo subconjunto no vacío es también un conjunto, ¿no es eso suficiente (es decir, sin la estipulación de que también esté totalmente ordenado) para afirmar que $S$ ¿está bien ordenado?
Gracias
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En la definición de buen orden tienes la totalidad.
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Un $\epsilon$ -elemento mínimo de $S$ no es necesariamente el elemento más pequeño de $S$ .
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Def'n: Un orden de bien es una relación binaria irreflexiva $<$ en un conjunto $A$ de manera que siempre que $\phi \ne B\subset A$ hay un único $x\in B$ tal que $\forall y\in B\;(y\ne x\implies y<x\}.$ ... De ello se desprende que un buen orden es un orden lineal (también conocido como orden total) ..... El conjunto $\{\;\{1,3\},\{2,3\}\;\}$ está parcialmente ordenado por $\in$ (trivialmente, ya que sus dos miembros son $\in$ -incomparable) pero no $\in$ -bien ordenado.