campo de función de un esquema integral

Question

Supongamos $X$ es un esquema integral, y deje $\eta \in X$ ser su punto genérico. A continuación, el anillo local $\mathcal{O}_{X,\eta}$ es un campo, llamado el campo de función de $X$ y que se denominan $K(X)$.

¿Por qué es $K(X)$ llamada a una función en el campo? ¿En qué sentido (si alguno) son sus elementos? Hay una conexión conceptual entre funciones regulares (una variedad) y $K(X)$?

Estoy preguntando, porque el nombre es muy sugerente, pero no parece que sigue directamente de la definición de que la $K(X)$ es un campo de "funciones".

Answer 1

Sí, todos los elementos de a $K(X)$ son funciones, pero hay una salvedad:

Advertencia : las funciones no están definidas todas partes
El campo $K(X)$ es simplemente la unión de todos los $\mathcal O(U)$ $U\subset X$ abierto, donde se identifica a $f\in \mathcal O(U)$ $f|V\in \mathcal O(V)$ siempre $U\supset V$.
Así que me engañó un poco cuando me dijo que las funciones racionales son las funciones: son clases de equivalencia de funciones.
Pero si usted es una persona honesta, usted puede conseguir a lo largo, sin hacer trampas: en cada clase de equivalencia de tales pares de $(U,f)$ hay un par con $U$ máximo y teniendo en cuenta solamente tales máxima pares puede considerar que $K(X)\subset \bigcup _{U \:\text {open}}\mathcal O(U)$ .
Así que, sí, $K(X)$ consiste en regular las funciones, pero estas funciones no están definidas todas partes.
Shafarevich ha hecho la interesante observación de que esta es una característica que distingue a la geometría algebraica a partir de otras teorías geométricas como la topología o la geometría diferencial.

Answer 2

Esto podría ser una especie de baja frente al comparar con la otra respuesta. Consideremos el caso más simple primero. Deje $X=Spec A$ donde $A=k[x]$. A continuación, todos los puntos en $X$ está dado por el primer ideales de $A$, y desde $A$ es un PID todos ellos son generados por polinomios. Ahora el genérico corresponde a la mínima el primer ideal de $A$, $\langle 0\rangle$ desde $A$ es una parte integral de dominio. Por lo tanto, tenemos $$\mathcal{S}_{X,0}\cong A_{0}=k(x)$$

Ahora nos vamos a $Y=Spec B$ donde $B=k[x_{1}\cdots x_{n}]/I$ $I$ es primo. Luego, a la mínima que el primer ideal en $B$ es nuevo dado por $0$ como una clase de equivalencia en el cociente del anillo. Y del mismo modo la localización le da la funcional de campo en $Y$ a ser la fracción de campo de $B$. Si usted piensa que $Y$ como una compleja variedad algebraica, entonces este es el cociente de campo de el anillo de funciones regulares.

Lo que viene de una variedad afín, para mí el funcional de campo puede ser pensado como una especie de "fracciones de campo", y la notación $K(X)$ está justificado en este sentido. Me enteré de esta perspectiva por la lectura de Mumford del libro. Si usted encuentra algún error, por favor, señalar que me deje saber.