¿Hay una diferencia entre $d^2x$y $(dx)^2$?

Question

He empezado a leer a través de Cálculo Fácil por Silvano Thompson y estoy tratando de solidificar el concepto de diferenciales en mi mente antes de avanzar demasiado lejos a través del texto.

En el Capítulo 1 Thompson describe un diferencial de $dx$ "un poco de $x$" o un "elemento de $x$" y, a continuación, procede a describir $\int dx$ como "la suma de todos los pequeños trozos de $x$." Estoy bien hasta este punto.

En el Capítulo 2 comienza a discutir los diferentes grados de "pequeñez" y aquí es donde empiezo a perder la pista. A veces su explicación parece tener sentido, y luego otra vez no.

Thompson comienza su discusión de grados de pequeñez con una apelación a tiempo.

Obviamente 1 minuto es una muy pequeña cantidad de tiempo en comparación con un toda la semana. De hecho, nuestros antepasados considera que es pequeña comparada con la de con una hora, y lo llamó "un minuto", que significa una fracción de minuto - es decir, la sesentava parte de una hora. Cuando llegaron a exigir todavía pequeñas subdivisiones de tiempo, se divide cada minuto en 60 todavía partes más pequeñas, que, en el Queen Elizabeth días, que se llama "segunda minutos" (es decir, de pequeñas cantidades de la segunda orden de pequeñez).

Ahora, en este momento, parece como si Thompson es la de hacer el punto de que $(dx)^2$ puede ser considerada como "un poco de $dx$" o "un poco de un poco de $x$," lo que parece evidente, pero tal vez no sea coherente con el lenguaje.

Sin embargo, un poco más tarde, él se describe a $(dx)^2$ "un poco de un poco de $x^2$. Y al hacerlo, él apoya su afirmación con una figura de un cuadrado con lados de longitud $x + dx$ y señala que cualquiera de las esquinas de la plaza representa la magnitud $(dx)^2$. Mientras que no necesariamente apelar a mi intuición, esta descripción parece estar más en línea con su descripción de $dx$.

un poco $\cdot$ $x$ $\cdot$ un poco $\cdot$ $x$ $=$ un poco $\cdot$ un poco $\cdot$ $x^2$

Sin embargo, no veo cómo esta segunda descripción es lo que en el caso de $(dx)^2$ menos significativo de $dx$. En el diagrama, que en realidad parece más importante que $dx$, siendo la $dx$ veces mayor que la de $dx$.

Entonces, me pregunto, ¿hay una diferencia entre el$d^2x$$(dx)^2$? Debo leer $d^2x$ "un poco de un poco de $x$" e $(dx)^2$ "un poco de un poco de $x^2$?" Me estoy perdiendo totalmente el punto? He vuelto completamente loco?

En espera de aclarar la cuestión, estoy incluyendo un poco más de lo que Thompson dijo:

Si $dx$ ser un poco de $x$, y relativamente pequeño de por sí, no no se sigue que tales cantidades como $x \cdot dx$ o $x^2 \cdot dx$, o $a^x \cdot dx$ son insignificantes. Pero $dx \cdot dx$ sería insignificante, de ser una pequeña cantidad de la segunda orden.

Además, afirma:

[E]n todos los casos se justifica en descuidar las pequeñas cantidades de la segunda o la tercera (o superior) - los pedidos, si sólo tomamos el pequeña cantidad de la primera orden pequeñas suficiente en sí mismo.

Answer 1

Ninguna de ellas, por sí solas, tienen un significado real. El símbolo $$ \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}\etiqueta{1} $$ significa que dos de los derivados con respecto a $x$. Es decir, dos aplicaciones de $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$: $$ \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^2\etiqueta{2} $$

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Sin embargo, lo que Thompson está tratando de explicar, puede entenderse más fácilmente mediante diferencias finitas. Después de todo, los derivados son los límites de diferencias finitas.

Definir la diferencia finita operador $\Delta_h$ $$ \Delta_hf(x)=f(x+h)-f(x)\etiqueta{3} $$ Entonces, la derivada está dada por $$ \lim_{h\to0}\frac{\Delta_hf(x)}{\Delta_hx}\etiqueta{4} $$ Tenga en cuenta que $\Delta_hx=h$.

La segunda derivada, cuando existe, está dada por $$ \lim_{h\to0}\frac{\Delta^2_hf(x)}{(\Delta_hx)^2}\etiqueta{5} $$ Ahora podemos empezar a ver la similitud entre el$(5)$$(1)$. En esta configuración, $\mathrm{d}^2$ es el límite de la plaza de la vanguardia de la diferencia operador (el segundo avance operador diferencia) y $\mathrm{d}x^2$ es el límite de la plaza de la primera diferencia de $x$.

Answer 2

La notación $d^2x$ es una muy acertada en mi opinión. En el cálculo diferencial, el exterior derivado $d$ satisface $d^2=0$: si $dx$ es "un poco de $x$", luego "un poco de un poco de $x$"$d(dx)=0$. Una cantidad infinitesimal de una cantidad infinitesimal es $0$.

Por otro lado, también tenemos $(dx)^2=0$ porque $(dx)^2$ es un infinitesimal de área, pero es "plana" (se derrumbó a un segmento). Por otro lado $dx dy$ es también un área infinitesimal, pero no es cero si $dx$ $dy$ no colinear, porque entonces no es "plana". Aquí, $(dx)^2$$dx \wedge dx$, y el hecho de que se desvanece viene del hecho de que el exterior de álgebra es anti-conmutativa.

En otras palabras, formalmente tenemos $d^2x=0$$(dx)^2=0$, pero por dos razones diferentes.

Cuando ves algo como

$$\frac{d^2x}{dx^2},$$

esto es realmente un abuso de notación para

$$\left(\frac{d}{dx}\otimes\frac{d}{dx}\right)x,$$

y la expresión de $\frac{d}{dx}\otimes \frac{d}{dx}$ vive en el tensor de álgebra, en lugar de en el exterior de álgebra. El tensor de álgebra no es anti-conmutativa, y de hecho no tenemos $\frac{d}{dx}\otimes \frac{d}{dx} = 0 $ si $\frac{d}{dx}=0$.

El cálculo diferencial tiene muchas sutilezas que requieren un poco de maquinaria para dilucidar de una manera rigurosa (el lenguaje básico de cálculo diferencial: tangente espacios, la cotangente espacios, formas diferenciales, campos vectoriales, etc.). Hasta que usted esté listo para aprender acerca de estas cosas, es mejor no preocuparse demasiado acerca de el significado de los símbolos individuales como $d^2x$$dx^2$, y simplemente concentrarse en aquellas expresiones que, obviamente, tienen una clara y significado aceptado (como "$d^2/dx^2$", que significa "tomar la segunda derivada con respecto a $x$")

Answer 3

Partes de esto es esencialmente análisis no estándar. Los números reales no admitir distinto de cero infinitesimals y no son necesarios para el cálculo, pero hay una alternativa de construcción llamado análisis no estándar que permite a estos números infinitesimales sin contradicción.

Aparentemente, no se enseña no estándar de análisis, se utiliza simplemente para dar una justificación intuitiva para cuestiones complicadas. Si usted tiene un número que representa una cantidad pequeña, la plaza de esa pequeña cantidad será "esencialmente cero". Esto no es matemáticamente exacto, pero sirve como una buena intuición.

Answer 4

Creo que esto es un punto clave:

Del diagrama, realmente parece más significativo que dx, siendo dx veces mayor que el dx.

Tenga en cuenta que estamos pensando en $dx$ como un número muy pequeño. Así que si algo multiplicas por el $dx$, lo que tienes son mucho menor que lo que usted comenzó con.

Answer 5

Sí obviamente hay, porque \frac{d^2x}{dx^2}=0 $$ $$ en lugar de $1$ ;)