Es la siguiente configuración conectada dado que la Unión y la intersección está conectado

Question

Supongamos que $U_1, U_2$ están abiertas establece un % de espacio $X$. Supongamos que $U_1 \cap U_2$ y $U_1 \cup U_2$ están conectados. Podemos concluir que el $U_1$ debe estar conectado??

Estoy tratando de encontrar un contraejemplo, pero fracasé. ¿Tal vez es cierto? ¿Puede alguien ayudarme a encontrar un ejemplo contrario? Gracias

Answer 1

Supongo que la forma de $A$ y $B$ una separación de $U_1$, es decir, $A$ y $B$ son disjuntos no vacíos abiertos conjuntos tales que $A\cup B = U_1$. Porque $U_1 \cap U_2$ es un subconjunto conectado de $U_1$, debe estar completamente contenida en el o $A$ o $B$ (otro obtenemos una separación de $U_1 \cap U_2$ % intersección $A$y $B$ $U_1 \cap U_2$); WLOG dejó $U_1 \cap U_2 \subset A$. Entonces, $A\cup U_2$ $B$ formas y una separación de $U_1 \cup U_2$, una contradicción.

Answer 2

Supongamos que se desconecta $U_1$. Entonces $U_1 = V \cup W$ donde $V$ y $W$ son no vacías, desunidos, abiertos subconjuntos de $X$. Ya que $U_1 \cap U_2$ es conectado, uno de los $V \cap U_2$ y $W \cap U_2$ debe estar vacío. Supongamos sin pérdida de generalidad que $V \cap U_2 = \varnothing$. Tenemos $U_1 \cup U_2 = V \cup W \cup U_2$. Tenga en cuenta que $V$ y $W \cup U_2$ está abierto y no vacío. Además, $V \cap (W \cup U_2) = \varnothing$. Sigue que $U_1 \cup U_2$ se desconecta.

Answer 3

Suponemos que ambos $U_1$ y $U_2$ son no vacías (de lo contrario el resultado es trivial). Si $U_1=A\cup B$, que $A$ y $B$ disjuntos conjuntos abiertos, entonces $U_1\cap U_2$ es la Unión de separados de lo sistemas abiertos $A\cap U_2$ y $B\cap U_2$, así que por cercanía uno de los conjuntos es vacía, decir $A\cap U_2=\emptyset$. Por lo tanto $U_1\cup U_2$ es la Unión de separados de lo abiertos disjuntos conjuntos $A$ y $B\cup U_2$, así que otra vez por conexión uno de estos conjuntos es vacía, es decir, $A$ (porque $U_2\ne\emptyset$ por supuesto). Esto demuestra que $U_1$ está conectado.

Answer 4

Estoy suponiendo que todo lo anterior son no vacías.

Si no podemos separar $U_1 \cap U_2$ en conjuntos disjuntos, ¿cómo podríamos nosotros posible separar $U_1$ en conjuntos disjuntos?

Es decir, Supongamos por contradicción que $U_1 = S_1 \sqcup S_2$ (que es decir $U_1 = S_1 \cup S_2$ $S_1 \cap S_2 = \emptyset$). Entonces tenemos

$$U_1 \cap U_2 = (S_1 \sqcup S_2) \cap U_2 = (S_1 \cap U_2) \sqcup (S_2 \cap U_2).$$ But then we've just written $ U_1 \cap U_2 $ as a disjoint union, contradicting our assumption that $ U_1 \cap U_2$ está conectado.