Expectativa condicional de X dado X ^ 2

Question

¿Qué podemos decir de $E[X|X^2]$ en general? ¿Y si $X$ % de la densidad $f$respetan la medida de Lebesgue?

Answer 1

También he obtenido el mismo resultado que @sds:

Observe que $\sigma(X^{2}) = \sigma(|X|)$. Por tanto, por definición, para cualquier $A \in \sigma(|X|)$ hemos

$$ \int_{A} \Bbb{E} [X | X^{2}] \, d\Bbb{P} = \int_{A} X \, d\Bbb{P}.$$

Por otro lado, desde la $\Bbb{E}[X | X^{2}]$ $\sigma(|X|)$medible, existe una Borel medible de la función $g : \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ tal que $\Bbb{E}[X|X^{2}] = g(|X|)$, es decir, $g(|X|)$ es una versión de esta esperanza condicional. Así que si $X$ tiene una densidad de $f(x)$, entonces la densidad de $|X|$ es

$$ \frac{d}{dx} \Bbb{P}(|X| \leq x) = \frac{d}{dx} (F(x) - F(-x)) = f(x) + f(-x), \quad x \geq 0 $$

y para cualquier tipo de evento $A = \{ |X| \leq a \}$$a > 0$,

$$\int_{0}^{a} g(x) (f(x) + f(-x)) \, dx = \int_{A} g(|X|) \, d\Bbb{P} = \int_{A} X \, d\Bbb{P} = \int_{-a}^{a} x f(x) \, dx. $$

La diferenciación de ambos lados con respecto a $a$, tenemos

$$ g(x) = x \frac{f(x) - f(-x)}{f(x) + f(-x)} \quad \text{a.s.} $$

Por lo tanto, se deduce que

$$ \Bbb{E}(X | X^{2}) = g(|X|) = |X| \frac{f(|X|) - f(-|X|)}{f(|X|) + f(-|X|)}. $$

Answer 2

Por definición, $$ \begin{align} E[X|X^2=u^2] &= \sum_x xP(X=x|X^2=u^2) \\ & = u\frac{P(X=u \& X^2=u^2)}{P(X^2=u^2)}-u\frac{P(X=-u \& X^2=u^2)}{P(X^2=u^2)} \\ & =u\frac{P(X=u)-P(X=-u)}{P(X=u)+P(X=-u)} \end{alinee el} $$

Si $X$ tiene una densidad $f$, entonces

$$ E[X|X^2=u^2] = u\frac{f(u)-f(-u)}{f(u)+f(-u)} $$