Parciales mixtos del libro de Peter Petersen

Question

Estoy tratando de entender cómo se definen los parciales mixtos para una función $\gamma : \mathbb R^m \rightarrow M$ , donde $M$ es un $n$ de la geometría riemanniana de Peter Petersen (página 112). Consulte el libro.

Dejemos que $\gamma\colon \mathbb{R}^m \to M$ . Queremos definir los segundos parciales para que estén en $TM$ en lugar de $TTM$ .

Lema 6 (Unicidad de los parciales mixtos): Hay a lo sumo una forma de definir los parciales mixtos para que (1) $\frac{\partial^2 \gamma}{\partial t^i \partial t^j} = \frac{\partial^2 \gamma}{\partial t^j \partial t^i}$ y (2) $\frac{\partial}{\partial t^k}g(\frac{\partial\gamma}{{\partial t^i}}, \frac{\partial \gamma}{\partial t^j}) = g(\frac{\partial^2\gamma}{\partial t^k \partial t^i}, \frac{\partial \gamma}{\partial t^j}) + g(\frac{\partial \gamma}{\partial t^j}, \frac{\partial^2\gamma}{\partial t^k \partial t^j})$ ambos se mantienen.

Mi pregunta es sobre el lema 6 (página 112). Entiendo que demuestra la fórmula de tipo Koszul y hace una extensión de $\gamma$ a $\overline{\gamma}$ Pero, ¿por qué? $\frac{\partial^2 \gamma}{\partial t^i \partial t^j} = \frac{\partial^2 \overline{\gamma}}{\partial t^i \partial t^j}$ ? Más concretamente, ¿qué significa la última línea de la prueba y cómo concluye la prueba con esta última afirmación (consulte el enlace proporcionado por Anthony más abajo)

Gracias.

Answer 1

Tal y como se establece en la prueba, supongamos $\gamma: \Omega \to M$ , $\Omega \subset \mathbb R^m$ es un $C^2$ en la variedad riemanniana $M$ representado en un sistema de coordenadas por $(\gamma^1, \ldots, \gamma^n)$ . Tenemos la libertad de elegir nuestra extensión, así que define $$\overline \gamma : \Omega \times (-\epsilon, \epsilon) \to M$$ que satisface las condiciones $\overline \gamma (x,0) = \gamma(x)$ , $x \in \Omega,$ y $$\frac{\partial \overline \gamma}{\partial t^{n+1}}|_p = v \in T_p M,$$ donde $p = \overline \gamma(x_0, 0)$ y $v$ se eligen arbitrariamente. Como se ha demostrado anteriormente en la prueba, existe una fórmula de tipo Koszul que se aplica por separado a ambos $\gamma$ y $\overline \gamma$ . Desde $\gamma(x) = \overline \gamma(x, 0),$ se deduce que $\frac{\partial \overline \gamma}{\partial t^{k}}|_p = \frac{\partial \gamma}{\partial t^{k}}|_p$ , $k < n+1$ . La fórmula del tipo Koszul da entonces la declaración de unicidad siempre que demostremos que los segundos parciales de $\overline \gamma$ son iguales a los segundos parciales de $\gamma$ siempre y cuando sólo diferenciemos en el $\frac{\partial}{\partial t^k}$ dirección, $k < n +1$ . Pero $\gamma$ y $\overline \gamma$ son idénticamente iguales en el dominio restringido $\Omega := \Omega \times { 0 }$ por lo que cualquier definición fija pero arbitraria de la segunda derivada parcial tiene que dar la misma respuesta en $\gamma$ y $\overline \gamma$ . A esto se refiere Petersen cuando dice que la definición es independiente de la extensión.