Cuando la lectura de la función de Green para la ecuación diferencial, me enfrenté a esta suma y se sienta duro para deducir su resultado directamente:
$$\frac{2}{\pi^2} \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\pi x \sin n\pi y}{n^2}$$
Yo sabía el resultado:
Al $x \leqslant y, \qquad (1-y)x$ ;
al $x >y, \qquad (1-x)y$
Mi pregunta es cómo obtener el resultado de la suma infinita ?
Gracias por su tiempo.
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Gracias a @njguliyev mucho.
Soy emocionante ya que este problema tiene una solución sencilla, si uno conoce la serie njguliyev dio.
De hecho, tengo este problema desde hace mucho tiempo, que proviene del libro de Hilbert & Courant, simplemente se dio el resultado final, sin un análisis. Yo tenía una solución, pero yo no satisfechos con esto, voy a dar el detalle a continuación, para alguien encuentra algo incorrecto, por favor, dime tu idea. No se como njguliyev la solución, a mi manera no es tan elegante.
Remolque de fórmulas, es necesario:
La sumación de Poisson fórmula: $$\sum_{n=-\infty}^\infty \psi(2\pi n) = \frac{1}{2\pi} \sum_{\nu = \infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \psi(\tau) e^{-i\nu \tau} \mathrm{d}\tau $$
La Transformación De Fourier: $$ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{t^2} \sin^2(a) e^{-i\omega t} \mathrm{d} t = \begin{cases} \pi\left(|a| - \frac{|\omega|}{2}\right), &\mbox{if } |\omega| \leq 2a \\ 0, &\mbox{if } |\omega| > 2a\end{casos} $$
Y $x,y \in [0,1]$ si $n=0$ en la original fórmula de la suma, tomé el valor límite, como el conocido resultado $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$: $$ \frac{\pecado n\pi x\ \pecado n\pi y}{n^2}\bigg|_{n=0} = \pi^2 xy $$
para ello: $$ \begin{align*} \frac{2}{\pi^2} \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\pi x \sin n\pi y}{n^2} &= \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{\pi^2} \frac{\sin n\pi x \sin n\pi y}{n^2} - xy \\ &= 4\cdot \sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{(2n\pi)^2}\bigg[ \sin^2(2n\pi \frac{x+y}{4}) - \sin^2(2n\pi \frac{x-y}{4})\bigg] - xy\\ &= \frac{4}{2\pi}\sum_{\nu = -\infty}^\infty \pi \bigg(\frac{x+y}{4} - \frac{|\nu|}{2}\bigg) - \frac{4}{2\pi}\sum_{\nu=-\infty}^\infty \pi\bigg(\frac{|x-y|}{4} -\frac{|\nu|}{2}\bigg) - xy \\ &=\begin{cases} (1 - y)x \qquad & x\leq y \quad \text{note: } x,y \in [0,1]\\ (1-x)y \qquad & x >y \end{casos} \end{align*} $$
