Podemos demostrar que para cada $x \in U \setminus f([0,1])$, se puede obtener de $x$$u$, con una curva en $U \setminus f([0,1])$.
Deje $g$ ser la curva que se conectan entre $x$$u$$U$.
Si $f$ $g$ no se cortan, hemos terminado.
De lo contrario, deje $y$ ser el primer punto donde las dos curvas se cruzan. $f$ es inyectiva, por lo tanto existe únicas $0<t<1$ s.t. $ y=f(t)$.
El conjunto $[0,t]$ es compacto en $U$ conjunto abierto, por lo tanto, no existe $\delta>0$ s.t. $B(f([0,t]), \delta) \subset U$. Es fácil ver que el conjunto de $B(f([0,t]), \delta) \setminus f((0,t))$ está conectado. De modo que existe una curva de $h$ $f(t)=y$ $f(0)=u$y por la concatenación de $h$ con la primera parte de la $g$ que se conectan desde $x$$y$, se obtendrá una curva en $U \setminus f([0,1])$$x$$u$.
Editar:
He erróneamente demostrado que $U \setminus f((0,1))$ está conectado. Para solucionarlo, por $x,y \in U \setminus f([0,1])$, hacer el mismo proceso, tal como se describe más arriba para $t_0,t_1$ donde $f(t_0), f(t_1)$ son la primera y la última de las intersecciones de la curva original entre el $x$ $y$ y la curva de $f$.