Ecuación funcional: $f(x)f(y)$ es radialmente simétrico

Question

Encontrar todas las funciones continuas $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f(x) f(y)$ es radialmente simétrica, es decir $$f(x) f(y) = g \left( \sqrt{x^2 + y^2} \right)$$ para alguna función $g : [0, \infty) \to \mathbb{R}$ .

(Nota: he ideado mi propia solución; sólo tenía curiosidad por ver qué se les ocurría a los demás).

Answer 1

Aquí hay una solución que transforma la ecuación funcional dada en una ecuación conocida.

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Si $ f $ es la función cero en $ \mathbb{R} $ Entonces, hemos terminado.

Si no, supongamos que $ f $ alcanza un valor no nulo en algún lugar. Evidentemente, $ f(0) \neq 0 $ Si no es así \begin{align} \forall x \in \mathbb{R}: \qquad [f(x)]^{2} & = g \! \left( \sqrt{x^{2} + x^{2}} \right) \\ & = g \! \left( \sqrt{2 x^{2}} \right) \\ & = g \! \left( \sqrt{(\sqrt{2} x)^{2} + 0^{2}} \right) \\ & = f(\sqrt{2} x) \cdot f(0) \\ & = f(\sqrt{2} x) \cdot 0 \\ & = 0. \end{align} Afirmamos que $ f $ no alcanza el valor $ 0 $ en cualquier lugar. A modo de contradicción, asuma lo contrario. Como $ f(0) \neq 0 $ y $ f $ es continua, existe un $ a \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} $ más cercano a $ 0 $ tal que $ f(a) = 0 $ . Entonces \begin{align} \left[ f \! \left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right) \right]^{2} & = g \! \left( \sqrt{ \left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right)^{2} + \left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right)^{2} } \right) \\ & = g \! \left( \sqrt{\frac{a^{2}}{2} + \frac{a^{2}}{2}} \right) \\ & = g \! \left( \sqrt{a^{2}} \right) \\ & = g \! \left( \sqrt{a^{2} + 0^{2}} \right) \\ & = f(a) \cdot f(0) \\ & = 0 \cdot f(0) \\ & = 0. \end{align} Por lo tanto, $ f \! \left( \dfrac{a}{\sqrt{2}} \right) = 0 $ . Sin embargo, $ \dfrac{a}{\sqrt{2}} $ está más cerca de $ 0 $ que $ a $ es, lo cual es una contradicción. En consecuencia, $ f $ no alcanza el valor $ 0 $ en cualquier lugar, y por el Teorema del Valor Intermedio, es estrictamente positivo o estrictamente negativo.

Si $ f $ es una solución estrictamente positiva, entonces $ -f $ es una solución estrictamente negativa. Por el contrario, si $ f $ es una solución estrictamente negativa, entonces $ -f $ es una solución estrictamente positiva. Por lo tanto, una vez que conozcamos todas las soluciones positivas, conoceremos también todas las soluciones negativas.

Sin pérdida de generalidad, supongamos que $ f $ es estrictamente positivo. Entonces $ f $ es incluso porque $$ \forall x \in \mathbb{R}: \qquad [f(-x)]^{2} = g \! \left( \sqrt{(-x)^{2} + (-x)^{2}} \right) = g \! \left( \sqrt{x^{2} + x^{2}} \right) = [f(x)]^{2}. $$ Definir una nueva función estrictamente positiva $ h: \mathbb{R}_{\geq 0} \to \mathbb{R}_{> 0} $ por $$ \forall x \in \mathbb{R}_{\geq 0}: \qquad h(x) \stackrel{\text{df}}{=} \frac{f(\sqrt{x})}{f(0)}. $$ Observe que \begin{align} \forall x,y \in \mathbb{R}_{\geq 0}: \qquad h(x) \cdot h(y) & = \frac{f(\sqrt{x})}{f(0)} \cdot \frac{f(\sqrt{y})}{f(0)} \\ & = \frac{f(\sqrt{x}) \cdot f(\sqrt{y})}{[f(0)]^{2}} \\ & = \frac{g \! \left( \sqrt{(\sqrt{x})^{2} + (\sqrt{y})^{2}} \right)} {[f(0)]^{2}} \\ & = \frac{g(\sqrt{x + y})}{[f(0)]^{2}}. \end{align} Por otro lado, \begin{align} \forall x,y \in \mathbb{R}_{\geq 0}: \qquad h(x + y) & = \frac{f(\sqrt{x + y})}{f(0)} \\ & = \frac{f(\sqrt{x + y}) \cdot f(0)}{[f(0)]^{2}} \\ & = \frac{g \! \left( \sqrt{(\sqrt{x + y})^{2} + 0^{2}} \right)}{[f(0)]^{2}} \\ & = \frac{g(\sqrt{x + y})}{[f(0)]^{2}}. \end{align} Por lo tanto, $ h $ satisface la conocida ecuación funcional $$ \forall x,y \in \mathbb{R}_{\geq 0}: \qquad h(x) \cdot h(y) = h(x + y). $$ De ello se deduce que existe un $ k \in \mathbb{R} $ tal que $$ \forall x \in \mathbb{R}_{\geq 0}: \qquad h(x) = e^{k x}. $$ Así, encontramos que $$ \forall x \in \mathbb{R}: \qquad f(x) = f(0) \cdot e^{k x^{2}}. $$ Por lo tanto, si $ f $ es estrictamente positivo, entonces existe un $ c \in \mathbb{R}_{> 0} $ y un $ k \in \mathbb{R} $ tal que $$ \forall x \in \mathbb{R}: \qquad f(x) = c e^{k x^{2}}. $$ Cualquier función estrictamente positiva $ f $ en $ \mathbb{R} $ de esta forma satisface claramente la ecuación funcional de la OP.

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Conclusión: Una función continua $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ obedece a la ecuación funcional de la OP si y sólo si existe un $ (c,k) \in \mathbb{R}^{2} $ tal que $$ \forall x \in \mathbb{R}: \qquad f(x) = c e^{k x^{2}}. $$

Answer 2

En primer lugar $f(0)^2=g(0)$ y definiendo $c:=f(0)=\sqrt{g(0)}$ tenemos $$ c\cdot f(x)=g(|x|)\tag1 $$ así que $g(x)$ determina completamente $f(x)$ . También hay que tener en cuenta que $g(x)$ debe ser no negativo, ya que $$ g(x)=f(\sqrt 2/2\cdot x)^2\tag2 $$ Si $c=0$ ecuación $(1)$ implica $g(x)\equiv 0$ y luego $f(x)^2=g(\sqrt2\cdot|x|)=0$ implica $f(x)\equiv 0$ .

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Ahora limitémonos a $c\neq 0$ y $x\geq 0$ . Entonces tenemos $$ f(x)^2=g(\sqrt2\cdot x)=c\cdot f(\sqrt 2\cdot x)\tag3 $$ y resulta que esto se puede generalizar inductivamente a $$ f(x)^n=c^{n-1}\cdot f(\sqrt n\cdot x),\quad\forall n\in\mathbb N\tag4 $$ Así, siempre que $x$ se incrementa en un factor $\sqrt n$ entonces $y=f(x)$ se transforma mediante la tranformación $y\mapsto y^n/c^{n-1}$ . Siempre que $x$ se reduce dividiéndolo por $\sqrt n$ entonces $y$ se transforma en $y\mapsto\sqrt[n]{c^{n-1}y}$ .

Combinando estos dos, vemos que si $x$ se multiplica por un factor $\sqrt{m/n}$ para algunos $m,n\in\mathbb N$ vemos que $y$ sufre la transformación $$ y\mapsto c^{\frac{n-m}n}\cdot y^{\frac mn}\tag5 $$ o poner en términos de $f(x)$ tenemos $$ f\left(\sqrt{\tfrac mn}\cdot x\right)=c^{\frac{n-m}n}\cdot f(x)^{\frac mn},\quad\forall m,n\in\mathbb N\tag6 $$ Así, si se nos dan las dos constantes $c:=f(0)$ y $d:=f(1)$ tenemos $f(x)$ completamente determinado en un subconjunto denso de $\mathbb R^+$ , a saber $$ f\left(\sqrt{\tfrac mn}\right)=c^{\frac{n-m}n}\cdot d^{\frac mn},\quad\forall m,n\in\mathbb N\tag7 $$

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Por la continuidad de $f$ Esto determina completamente $f$ en todos los $\mathbb R^+$ y mediante una inspección más detallada en $\mathbb R$ , a saber $$ f(x)=c^{1-x^2}\cdot d^{x^2}=f(0)^{1-x^2}\cdot f(1)^{x^2}\tag8 $$ o dicho de otro modo, definiendo $a:=c^{-1}\cdot d=f(1)/f(0)$ tenemos $$ f(x)=c\cdot a^{x^2}\tag9 $$ y BTW $g(x)=c^2\cdot a^{x^2}$ . Aquí tenemos $c\in\mathbb R\setminus\{0\}$ y por la ecuación $(1)$ vemos que $c,d$ deben tener el mismo signo, por lo que $a\in\mathbb R^+$ .

Conclusión:

Hemos demostrado que todas las soluciones pueden describirse como $$ f(x)=c\cdot a^{x^2}\tag{10} $$ para algún par de constantes $(c,a)\in\mathbb R\times\mathbb R^+$ . Nota para $c=0$ el valor de $a$ no importa. Esto coincide con el conjunto de soluciones propuesto por Berrick Caleb Fillmore en la sección de comentarios del PO. Y no añade ninguna solución adicional al conjunto.