Por favor, enumere algunos grupos topológicos que debería conocer.

Question

Estoy revisando el libro de Topología de Munkres y hay mucho sobre grupos topológicos. Por miedo a que se me olviden los teoremas sobre ellos me gustaría relacionar cada cosa que demuestre con un ejemplo del mundo real. Por favor, enumera algunos grupos o anillos topológicos que sean interesantes además de los obvios como $(\mathbb{C}, +, \cdot)$ y dar una razón de por qué son interesantes. Gracias.

Answer 1

1. Todos los grupos de Lie clásicos . Este debería ser autoexplicativo. Esto es probablemente lo más cercano al tipo de respuesta en la que estabas pensando.
2. Campos locales y sus anillos de valoración (esto puede ser un poco avanzado). Son una parte importante de la teoría de números moderna.
3. En general, el anillo matricial o el grupo lineal general sobre un anillo topológico. Obviamente, esto aparece en todas partes, desde el cálculo hasta la teoría de los números.
4. Definitivamente el grupo del círculo $\mathbb{T}=\{z\in\mathbb{C}:|z|=1\}$ . Este es un grupo topológico que aparece en múltiples lugares en el análisis, en particular es enorme en la teoría de la representación. También es importante echar un vistazo a los grupos tori generales $\mathbb{T}^n$ .
5. Retículas en espacios vectoriales reales. Tienen una estructura topológica trivial, pero ver cómo demostrar esto/explotar esto te dará una buena idea de cómo funcionan los argumentos topológicos de grupo.
6. Espacios de producto interno, ya sean de dimensión finita o espacios de Hilbert. Son una parte fundamental del análisis moderno.
7. Como señala Zhen Lin, deberíamos añadir en grupos profinitos (límites inversos de grupos finitos). En particular, los grupos de Galois de extensiones (por interés, digamos infinitas).

Answer 2

El adèles y idèles de un campo global son ambos fundamentales para la teoría numérica moderna. Con estos grupos topológicos (y sus medidas de Haar asociadas) es posible dar una prueba directa y unificada de la finitud del número de clase y del teorema de la unidad de Dirichlet, aunque esto es sólo el principio de su utilidad. También sugiero mirar los hilos de MathOverflow ¿Qué problema resuelven los adelantos? y ¿Quién fijó la topología en los ídolos?

Answer 3

Además: para un espacio topológico $X$ El grupo $\mathrm{Homeo}(X)$ (con topología compacta-abierta) y, para una variedad suave $M$ , $\mathrm{Diff}(M)$ con topología de convergencia uniforme (sobre compactos) de todas las derivadas parciales respecto a una métrica riemanniana de fondo fija sobre $M$ . Otros grupos similares e importantes son los grupos de los simplectomorfismos y los simplectomorfismos hamiltonianos (de las variedades simplécticas), los contactomorfismos (de las variedades de contacto) y los automorfismos biholomórficos (de las variedades complejas).