En muchos casos concretos me parece bastante duro para mostrar la irreductibilidad de una determinada variedad.
Puede proceder de la siguiente manera:
Situación: Nos fijamos en el cerrado subscheme $$X = V(f_1, \dots, f_n) \subset \mathbb{P}^m_k.$$ for a algebraically closed field $k$. We can show that the Jacobian has everywhere full rank and hence $X$ is smooth of codimension $$ n.
Argumento: regular anillo local es integral. Por lo tanto $X$ es reducido. Por lo $X$ es una completa intersección (como esquemas) y $f_1, \dots, f_n$ generar la homogénea ideal de $X$ por Hartshorne, Ejercicio II, 8.4. Por Hartshorne, Ejercicio III, 5.5 la variedad $X$ está conectado. Sin embargo, cualquier conectados noetherian plan integral local de los anillos es integral.
Es este argumento, incluso, correcto? Puede el comprobante simplificado? ¿Qué métodos existen para mostrar irreductibilidad en situaciones concretas?
