¿Es que para calcular esta área sin usar integral?
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Suponga que el lado del cuadrado $\overline{AB}=1$. Considere el diagrama de
$\hspace{3cm}$
Por simetría, $\overline{EC}=\overline{CD}$; por lo tanto, $\overline{CD}=1/2$. Desde $\overline{AC}=1$$\overline{AD}\perp\overline{CD}$, tenemos que $\angle CAD=\pi/6$ ($30$-$60$-$90$ triángulo). Del mismo modo, $\angle GAF=\pi/6$, dejando $\angle CAG=\pi/6$.
Desde la base de $\overline{AB}=1$ y la altitud $\overline{CD}=1/2$, $\triangle ABC$ tiene área de $1/4$.
Desde $\angle CAB=\pi/6$, el sector circular $CAB$ área $\pi/12$.
Por lo tanto, el área de la púrpura de media cuña entre el$B$$C$$\color{#A050A0}{\dfrac{\pi-3}{12}}$.
Además, $\overline{CG}^2=\overline{BC}^2=\overline{CD}^2+\overline{DB}^2=\left(\frac12\right)^2+\left(1-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\color{#50B070}{2-\sqrt3}$.
Por lo tanto, el área pedida es $\color{#50B070}{2-\sqrt3}+4\left(\color{#A050A0}{\dfrac{\pi-3}{12}}\right)=1+\dfrac\pi3-\sqrt3$
Roger Hoover
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56
Su "curvilíneo de la plaza" que sólo corta el círculo en tres partes, de modo que la distancia entre dos vértices adyacentes es $2l\sin\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}l$, dado que el $l$ es la longitud del lado de la original de la plaza. De manera que el área de la "plaza circular" se da por $(2-\sqrt{3})l^2$ más de cuatro veces el área de un segmento circular.
El área de un segmento circular es la diferencia entre el área de un sector circular y el área de un triángulo isósceles tener longitud de la base $l\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$ y la altura de la $l\cos\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}l$, por lo tanto: $$ S = \left(\frac{\pi}{12}-\frac{1}{4}\right)l^2 $$ y la zona de la plaza circular" es simplemente: $$ Q = \left(1-\sqrt{3}+\frac{\pi}{3}\right)l^2.$$
Con integrales, por los siguientes Shabbeh sugerencia, tenemos: $$ Q = 4l^2\int_{1/2}^{\sqrt{3}/2}\left(\sqrt{1-x^2}-\frac{1}{2}\right)dx = 2l^2\left.\left(x\sqrt{1-x^2}-x+\arcsin x\right)\right|_{1/2}^{\sqrt{3}/2}$$ que, obviamente, conduce al mismo resultado. Sólo una cuestión de gusto, como de costumbre.
abiessu
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5519
Considerar el cuarto de círculo de radio de $r$ $\pi\over 2$ rotación de la misma, donde los dos arcos dos comunes esquinas y cada una de las acciones de tres esquinas con el cuadrado de la longitud lateral $r$. Llame a la zona no cubierta por un cuarto de círculo piezas de un "contra-arc" (un triángulo con falta arco piezas). El área cubierta por el círculo puede ser dividido en intersección y no de intersección de las secciones; tenga en cuenta que podemos cortar en línea recta y obtener dos $\pi\over 12$ arco secciones y un triángulo equilátero, por lo que hemos contador-área del arco $$c=r^2-\frac 12 (r)\frac {\sqrt 3}2r-2\cdot \frac 1{12}\pi r^2=r^2\left(1-\frac {\sqrt 3}4-\frac {\pi}6\right)$$ Ahora tenemos el contador de arco, se puede conseguir en la flecha de arco (el área fuera de un cuarto de círculo y entre los dos contra arcos), que es $$a=r^2-{\pi r^2\over 4}-2c=r^2\left(1-\frac {\pi}4-2+\frac{\sqrt 3}2+\frac {\pi}3\right)$$
La flecha-arcos y contra-arcos conforman el perímetro exterior de la forma indicada, por lo que hemos área sombreada
$$r^2-4a-4c=r^2\left(1-4+\sqrt 3+\frac {2\pi}3-4+\pi+8-2\sqrt 3-\frac {4\pi}3\right)=r^2\left(1-\sqrt 3+\frac {\pi}3\right)$$
Berry P J
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71
Que $R$ ser su radio y $D$ su diámetro: $R = 5$, $D = 10$.
$$\begin{align} \text{Area of big square} &= D^2 = 100 \\ \text{Area of circle} &= \frac{\pi D^2}{4} \approx 78.54 \\ \text{Area outside circle} &= 100 - 78.54 = 21.46 \\ \text{Area of 4 petals} &= 78.54 - 21.46 = 57.08 \\ \text{Area of single petal} &= \frac{57.08}{4} = 14.27 \\ \text{Area of small square} &= R^2 = 25 \end {Alinee el} $$
Que $x$ denotan el área de la porción seleccionada.
$$\begin{align} \text{Area of 2 petals} &= 2 \cdot 14.27 = 28.54 \\ 0 &= 25 - 28.54 + x \\ \text{Area of 8 petals} &= 2 \cdot 57.08 = 114.16 \\ \text{OR}\\ 100 - 114.16 + 4 x &= 0 \end {Alinee el} $$ % $ de $$ x = 3.54 $aquí tenemos una pequeña área que debe añadirse, que descubrí por modelado que #% $$-$4.34$-# - {alinee el} $$
Berry P J
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71
