Núcleo de la transición de una cadena de Markov

Question

Suponiendo $X_t$ es un Proceso de Markov, puede la transición del núcleo se define por $$K_t(x,A):= P(X_{t+1} \in A | X_t = x)?$$ Assume that $X_t : \Omega \to \mathbb{R}^n$.

El problema es que bajo la definición normal de probabilidad condicional, r.h.s se define como: $$P(X_{t+1} \in A | X_t = x) =\frac{P( (X_{t+1} \in A) \cap (X_t = x))}{P(X_t = x)}$ $ y el denominador es cero para la mayoría de las variables aleatorias. Incluso si se supone que el ser $E[I_A(X_{t+1}) | \sigma(X_t = x)]$, el condicional la expectativa puede tomar valores arbitrarios en el set $\{X_t =x\}$ si $P(X_t = x) =0$.

Otra definición podría reunir de la web es que $K_t(x,A)$ se llama la transición del kernel si $$K_t(X_t(\omega),A) := E[I_A(X_{t+1})|X_t](\omega)~\forall \omega \en \Omega.$$ También, $K_t(x,\cdot)$ debe ser una medida de probabilidad, de modo que el condicional las expectativas deben ser regulares (si no estoy equivocado).

El libro (página 18) estoy leyendo utiliza la primera definición dada anteriormente.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

La transición del kernel $K_t$ es definida por algunos medición de condiciones y por el hecho de que, para cada medibles Borel set $A$ y cada (bounded) medibles función de $u$, $$ \mathrm E(u(X_t):X_{t+1}\en A)=\mathrm E(u(X_t)K_t(X_t,A)). $$ Por lo tanto, cada una de las $K_t(\cdot,A)$ se define sólo a los conjuntos de medida cero para la distribución de $X_t$, en el siguiente sentido: si $K_t$ es una transición kernel para $X_t$ y si, para cada medibles Borel conjunto $A$, $X_t$ es casi seguro que en $C_A$, donde $$ C_A=\{x\in\mathbb R^n\,\mid\,K_t(x,A)=\tilde K_t(x,A)\}, $$ a continuación, $\tilde K_t$ también es una transición kernel para $X_t$.