Prueba de que este límite es igual a $e^a$

Question

Puede por favor alguien que me explique por qué la siguiente identidad es cierto? $$\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{a}{x} \right)^x = e^a$$

(Voy a hacer una anotación $L$ que es igual al límite de la anterior).
Una 'prueba' vi fue algo como esto: $$L = \lim_{x \to \infty}\left(\left(1 + \frac{a}{x} \right)^\frac{x}{a}\right)^a = e^a$$

Que no puede ser a la derecha... a la derecha? Porque no hay nada que me impida decir $$L = \lim_{x \to \infty}\left(\left(1 + \frac{a}{x} \right)^\frac{x}{a + 1}\right)^{a + 1} = e^{a + 1}$$ pero obviamente esto no es cierto.

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Edit: he publicado mi respuesta a esta pregunta, donde explico lo que me tiene confundido:
► http://math.stackexchange.com...35491#35491

Answer 1

Tienes que recordar el límite fundamental $$\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e.$ $

Piense en ello como una regla general como esta:

$$\lim_{\star\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{\star}\right)^\star=e,$$ where the star can be substituded by any expression (which tends to $ \pm\infty$).

Así $$\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^x=\lim_{x\to\pm\infty}\left[\left(1+\frac{1}{\frac{x}{a}}\right)^\frac{x}{a}\right]^{\frac{a}{x}\cdot x}=e^a.$ $

Answer 2

Tal vez usted encontrará instructivo el siguiente enfoque.

Para $a>0$, $$ \bigg(1 + \frac{a}{x}\bigg)^x = \exp \bigg(x\int_1^{1 + a/x} {\frac{1}{u} \,du} \bigg). $$ Desde $$ \frac{a}{{x + a}} = \int_1^{1 + a/x} {\frac{1}{{1 + a/x}}\,du} \le \int_1^{1 + a/x} {\frac{1}{u}\,du} \le \int_1^{1 + a/x} {\frac{1}{1}\,du} = \frac{a}{x}, $$ tenemos $$ \frac{{xa}}{{x + a}} \le x\int_1^{1 + a/x} {\frac{1}{u}\,du} \le un. $$ Por lo tanto, la expresión en el medio tiende a $a$$x \to \infty$, lo que $$ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \exp \bigg(x\int_1^{1 + a/x} {\frac{1}{u} \,du} \bigg) = e^una . $$

Answer 3

La prueba que usted vio es correcta. No entiendo tu última ecuación, puesto que es falso que $\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{a}{x} \right)^{ \frac{x}{a+1} } = e$. Usted necesita para hacer la sustitución $y = \frac{x}{a}$ y entonces esperemos que todo va a estar claro.

Answer 4

Estaba bajo la impresión de que $\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{a}{x}\right)^{x/y} = e$, independientemente de qué constante $y$. Mi confusión vino del hecho de que generalmente el $\lim_{x \to \infty} x/y = \infty$, independientemente de la $y$. Ahora sé que esto es un caso especial y es específicamente requerido que $y = a$ y el poder ser $x/a$ y nada mas.