$d^\prime \le c\,d$ $d,d^\prime$ Dónde están delimitadas métricas

Question

Que $X$ ser un conjunto no vacío. Fijar dos parámetros $d: X\times X \to [0,1]$ y $d^\prime: X\times X \to [0,1]$ tal que genera la topología $\tau$ $d$ es más fina que la topología $\tau^\prime$ de $d^\prime$, es decir, $ \tau^\prime \subseteq \tau. $

Pregunta. ¿Es cierto que existe un % constante positivo $c$tal que $$ \forall x, y \in X,\,\,\,\,\,\,\,d^\prime(x,y) \le c\, d (x, y) \, \,? $$

Answer 1

No. Este es un ejemplo donde las métricas incluso inducir la misma topología:

Deje $X=2^\omega$ (es decir, todas las funciones $\mathbb N\rightarrow\{0,1\}$) donde el espacio está dotado de la topología producto donde $\{0,1\}$ tiene la topología discreta (esta es la topología generada por la open básica establece $N_s=\{x\in 2^\omega\mid s\subset x\}$ donde $s\in 2^{<\omega}$, es decir, el abierto básicos conjuntos se componen de todas las secuencias de la ampliación de una finito dado cuerda). Este espacio es homeomórficos para el conjunto de Cantor y se llama espacio de Cantor.

La topología generada por la métrica $$d:X\times X\rightarrow [0,1], (x,y)\mapsto\begin{cases}0\, ,&\text{ if }x=y,\\ \frac 1{n+1}\,, &\text{ otw., where %#%#% is maximal s.t. }x\upharpoonright n=y\upharpoonright n\,.\end{casos}$$ Obviamente, esto es simétrica, tiene rango de $n$, y satisface la desigualdad de triángulo (sólo tenga en cuenta que si $\subseteq [0,1]$ $x$ de acuerdo a a $y$ $n$ $y$ de acuerdo a a$z$, $k$ $x$ de acuerdo a a $z$).

Pero, la misma topología generada por la métrica $$d:X\times X\rightarrow [0,1], (x,y)\mapsto\begin{cases}0\, ,&\text{ if }x=y,\\ \frac 1{2^n}\,, &\text{ otw., where %#%#% is maximal s.t. }x\upharpoonright n=y\upharpoonright n\,.\end{casos}$$ También es fácil ver que esto es una métrica.

Evidentemente, estas medidas no son equivalentes (ya que el término exponencial crece mucho más rápido que el término lineal).

Answer 2

No, no es cierto, y aquí es un contraejemplo: Vamos a $X$ ser el subconjunto $\{1/n\mid n\in \Bbb N\}\subseteq\Bbb R$ y deje $d$ ser la métrica heredado de la métrica usual en la recta real. A continuación, $\tau$ es la topología discreta, y por lo tanto uno de los mejores que hay.

Deje $f:X\to \Bbb Q$ ser un bijection, y deje $d'$ ser definido por $d'(x,y)=\min(1,|f(x)-f(y)|)$. Esto hace que $(X,\tau')$ homeomórficos a $\Bbb Q$, y por lo tanto no discretos.

Así que tenemos $\tau'\subsetneq\tau$. Asumir que hay un $c$, y ver el $Y=f^{-1}(\Bbb Z)$. El $d'$-distancia entre dos puntos cualesquiera en $Y$$1$, lo que significa que el $d$-distancia entre dichos puntos es mayor que $\frac1c$. Esto no puede ser, ya que sólo un número finito de puntos de $X$ están por encima de $\frac1c$ como puntos en $\Bbb R$, e $Y$ contiene una infinidad de puntos.

Answer 3

Supongamos que su reclamo era verdad y que, además de su hipótesis:

1. $(X,d')$ es un no-compacto limitada de espacio métrico tal que $\overline{(X,d')}$ es compacto
2. $(X,d)$ es un acotado espacio métrico que no es relativamente compacto en $\overline{(X,d)}$.

Donde $\overline{(Y,\delta)}$ es la culminación de la métrica del espacio $(Y,\delta)$.

Por su lema, el mapa de $id_X: (X,d')\to (X,d)$ es de la UC. Por la característica universal de la finalización, no es exactamente una uniformemente continua mapa de $j:\overline{(X,d')}\to\overline{(X,d)}$ tal que $j\rvert_X=id_X$. Pero esto no puede ser, porque $\operatorname{im}j$ sería un subconjunto compacto de $\overline{(X,d)}$ contiene $X$.

Ahora, la pregunta es: ¿como un contraejemplo ser producido bajo la hipótesis de $\tau'\subseteq \tau$?

El primer contraejemplo que viene a la mente es con $\tau=\tau'$. $\Bbb R$ es homeomórficos a $S^1\setminus \{-1\}$ a través del mapa de $$\Bbb R\ni x\mapsto\psi(x)=e^{2i\arctan x}\in S^1\setminus\{-1\}$$ Y por lo tanto hereda un almacén de distancia $d'(x,y)=\lvert \psi(x)-\psi(y)\rvert$ tal que $\overline{(\Bbb R,d')}\cong S^1$.

Sin embargo, $\Bbb R$ también tiene la limitada distancia $d(x,y)=\min\{1,\lvert x-y\rvert\}$, con un respeto a la que es ya su propia conclusión (y no es compacto).

Añadido: Otro uno sería con el $1-0$ distancia en $\Bbb R$, en cuyo caso $\tau'\subsetneq \tau$.