Método de energía para el PDE elíptico

Question

Tengo una Energía funcional de un PDE : $-\triangle u +u|u| =f$ $\Omega$

$u=0$ $\partial \Omega$ , y la energía correspondiente funcionales a continuación . $$E(u)=\int_\Omega\Bigl(\frac12|\nabla u|^2+\frac1{3}|u|^3-f\u\bigr)dx.$$ Observar que $E(u)$ está bien definida en el espacio de Banach $X=H^1_0(\Omega)\cap L^3(\Omega)$.

Tengo el siguiente dificultades en la comprensión de que :

a) ¿Cómo podemos, en consecuencia el cambio de la Energía funcional de acuerdo al PDE ?

b) no soy capaz de entender la razón por la que el de la energía funcional está bien definido en $X$ ?

c) Suponga que yo defino $u$ no $H^1_0(\Omega)\cap L^3(\Omega)$ , en lugar de decir $H^2_0(\Omega)\cap L^2(\Omega)$ , ¿Cómo sería la configuración de energía de cambio funcional ?

Por favor, ayúdame a entender . Muchas gracias por dar .

Answer 1

Primero de todo, yo recomiendo que usted consultar algún texto en el cálculo de variaciones. Algunas de las recomendaciones (en ningún orden en particular):

• Weinstock, Cálculo de Variaciones con Aplicaciones a la Física y la Ingeniería es un clásico, un pequeño libro. Disponible ahora a través de Dover barato.
• Gelfand y Fomin, Cálculo de Variaciones , también está disponible ahora a través de las publicaciones de Dover.
• Jost y Li-Jost, Cálculo de Variaciones de la Cambridge University Press

Parte (b) de la cuestión ya fue resuelta en los comentarios: el corto de la cuestión es que teniendo en cuenta la funcional en la elección de la función de espacio, hemos restringido a nosotros mismos a un dominio para el que el funcional es bien definido. (Por ejemplo, en el espacio, $H^1_0(\Omega)$ tenemos que, por definición, un elemento $u\in H^1_0(\Omega)$ satisface $\int_\Omega |\nabla u(x)|^2\mathrm{d}x < \infty$.)

Para la parte (a), la respuesta es que es un poco como la toma de anti-derivados: desarrollar algunas reglas basadas en el reverso de la operación de búsqueda de Euler-Lagrange las Ecuaciones. Permítanme elaborar un poco más.

Dado un funcional $S: H \to \mathbb{R}$ en algunas de espacio de Banach $H$, a menudo estamos interesados en puntos críticos de $S$ (físicamente corresponde a Fermat principio de menos tiempo o el principio de la menor acción; en matemáticas también estamos interesados en el área de la minimización de las superficies o la longitud de la minimización de las curvas). En todos los casos, hacemos lo que hacemos en primer año de cálculo: el punto crítico es donde la derivada de la $S$ se desvanece.

Ahora, vamos a $H$ ser un espacio de funciones definido en algunas de dominio $\Omega$ fuga en el límite $\partial\Omega$, y dejar que el funcional $$S[u] = \int_{\Omega} \mathcal{S(x,u,\nabla u)} \mathrm{d}x$$ para algunos la función $\mathcal{S}$. Por definición de la derivada, queremos que para cualquier función de $v\in H$, $$S'[u]\cdot v = \lim_{t\to 0} \frac{S[u+tv] - S[u]}{t} = 0$$ Haciendo una expansión de Taylor en $S$ tenemos que $$\mathcal{S}(x,u+tv, \partial u + t \nabla v) = \mathcal{S}(x,u,\nabla u) + \left(\frac{\partial}{\partial u}\mathcal{S}\right)(x,u,\nabla u) \cdot tv + \left(\frac{\partial}{\partial \nabla u}\mathcal{S}\right)(x,u,\nabla u)\cdot t\nabla v + O(t^2)$$ lo que da $$S'[u]\cdot v = \int_\Omega \frac{\partial\mathcal{S}}{\partial u} v + \frac{\partial\mathcal{S}}{\partial\nabla u}\cdot \nabla v \mathrm{d}x$$ La integración de la pasada legislatura por partes obtenemos $$S'[u] \cdot v = \int_\Omega \left( \frac{\partial\mathcal{S}}{\partial u} - \nabla\cdot \frac{\partial \mathcal{S}}{\partial \nabla u}\right) v \mathrm{d}x$$ Desde $S'[u]\cdot v = 0$ se supone que tienen validez para todos los $v\in H$ (al $u$ es un punto crítico), esto requiere que $$\frac{\partial\mathcal{S}}{\partial u}(x,u,\nabla u) - \nabla\cdot \left(\frac{\partial \mathcal{S}}{\partial \nabla u}(x,u,\nabla u)\right) = 0$$ La expresión anterior se conoce como el de Euler-Lagrange Ecuación asociada a la funcional $S$.

A ver que, en cierto sentido, lo que hemos hecho en la computación de Euler Lagrange ecuación se calcula el "gradiente" de la funcional $S$. Y así, lo que se pide en la parte (a), la de encontrar una energía funcional dada una ecuación, es el opuesto de este proceso, y por lo tanto muy similares a la búsqueda de la "antiderivada" de la ecuación.

La manera de hacer esto es mediante el aprendizaje de las reglas de la que puede derivar, por inferencia, después de haber hecho algunos de estos cálculos. Muchas de estas normas han analógica directa en el cálculo. Algunos ejemplos:

• Si $\mathcal{S}$ contiene un término $|u|^p$ donde $p \geq 2$, luego de Euler Lagrange ecuación contiene un plazo $p |u|^{p-2} u$.
• Si $\mathcal{S}$ contiene un término $|\nabla u|^2$, luego de Euler Lagrange ecuación contiene un plazo $-2 \triangle u$.
• Si $\mathcal{S}$ contiene un término $F(u)$ donde $F$ es una real/complejo de valores de funciones de una variable, luego el de Euler Lagrange ecuación contiene un plazo $F'(u)$.
• Si $\mathcal{S}$ contiene un término $V \cdot u$, luego de Euler Lagrange ecuación contiene un plazo $V$.

Las cuatro reglas que se dan aquí son la forma más simple y más común de los tipos de términos de la funcional $S$. Aquí he asumido que $\mathcal{S}$ no depende de $x\in\Omega$. Si lo hace, esto introduce otra capa de complicación, ya que el segundo término de Euler-Lagrange ecuación consiste en tomar un espacio físico divergencia $\nabla\cdot$ y si los derivados de golpear la $x$ dependencia de $\mathcal{S}$ recoger los términos de orden inferior.

Como solución anti-derivados, la búsqueda de la energía funcional es principalmente conjetura sobre el trabajo que implica la experiencia y algunos memorizado formas. Aquí quiero reiterar lo que dije en el comentario: tal como en el cálculo multivariable, donde no todos los campos vectoriales puede ser escrito como el gradiente de una función, en la configuración funcional no todas las ecuaciones se pueden escribir como el de Euler Lagrange ecuación de algunos funcional. Es decir, no todas las ecuaciones en derivadas parciales son variacional en la naturaleza.

Edit: Como Teorema aclaró en un comentario:

Básicamente mi pregunta en la parte (c) es, ¿cómo sería la energía, el cambio funcional si defino u a estar en un espacio diferente ?

La respuesta es no. Una vez debe ser cuidadoso con los objetivos y no "poner el carro delante del caballo".

1. En el caso de que usted está considerando un determinado problema variacional (minimizar un funcional sobre una función determinada en el espacio), la función del espacio está dado y por eso no tiene sentido para cambiar la función del espacio.

2. En el caso de que usted está tratando de resolver un determinado PDE, el método de energía es sólo un intermedio de la herramienta. La herramienta que exige una particular forma de energía funcional. Así que usted debe elegir un espacio en el que esta energía funcionales bien definidas. Pero eso no es todo! Para el uso de la maquinaria del cálculo de variaciones, la funcional tiene que ser "suficientemente coercitivas" en relación a la norma de su función de espacio. Esto es debido a que el análisis de tales ecuaciones en derivadas parciales procede generalmente por (i) la elección de un minimizando/extremising secuencia en la función del espacio (ii) demuestre que converge. Para el problema que se menciona en la pregunta, con la norma de análisis funcional de la maquinaria se puede demostrar que existe una limitada la minimización de la secuencia, que puede ser mostrado a débilmente convergen utilizando el estándar abstracto tonterías. Para obtener una fuerte convergencia en este caso, utilizamos el hecho de que la norma en que medida la fuerte convergencia puede ser controlado por la energía funcional y, a continuación, podemos aprovechar la convexidad de la funcional para mostrar que el débil límite debe ser un fuerte límite en el hecho. (El de arriba es muy limitada; I se describe el método general con un cabello con más detalle en esta respuesta.)

   En otras palabras, lo que estoy tratando de decir es un poco de la filosofía: en la resolución de ecuaciones en derivadas parciales, uno no elige en función del espacio en primer lugar. En lugar de ello, se elige un método y encuentra un espacio en el que el método puede ser aplicado. De hecho, un gran y necesario para el análisis moderno de ecuaciones diferenciales parciales se compone de los inteligentes opciones de espacios de funciones con el fin de implementar ciertos esquemas de solución.