¿Curvas elípticas más $x^4+y^4+z^4 = 1$?

Question

(Nota: Esto ha sido actualizado para ser similares a este MO post.)

Hay exactamente 22 conocida primitivo soluciones,

$$a^4+b^4+c^4 = d^4\tag{1}$$

con $d<10^{11}$. Noam Elkies mostró que $(1)$,

$$(p + r)^4 + (p - r)^4 + s^4 = q^4\tag{2}$$

puede ser resuelto por completo como una intersección de dos quadric superficies,

$$-(3 m^2 - 8m + 6) p^2 + 2 (m^2 - 2) p q - 2 m q^2 = (m^2 + 2) r^2\tag{3}$$

$$-4 (m^2 - 2) p^2 + 8 m p q + (m^2 - 2) q^2 = (m^2 + 2) s^2\tag{4}$$

para algunas constantes $m$. Dado un conocido de la solución a $(1)$, $m$ puede ser recuperado como,

$$m = \frac{4p^2-q^2-s^2}{3p^2-2pq+r^2} = \frac{(a+b)^2-c^2-d^2}{a^2+ab+b^2-(a+b)d}\tag5$$

Uno puede revertir la ingeniería de las soluciones conocidas y descubrir que hay sólo ocho conocido racional $m$ de pequeña altura tal que $(3),(4)$ puede ser racionalmente resuelto, es decir,

$$m_k = -\frac{5}{8},\;-\frac{9}{20},\;-\frac{29}{12},\;-\frac{41}{36},\;-\frac{93}{80},\;-\frac{136}{133}$$

y positiva,

$$m_k = \frac{201}{4},\;\frac{233}{60}$$

con el último encontrado por Andrew Bremner rendimiento #21 se menciona en los comentarios de abajo. Los primeros cuatro $m_k$ dar lugar a,

1. $(-313+484v+85v^2)^4+(10-586v+68v^2)^4+(2t)^4=(363-204v+357v^2)^4$
2. $(-15968 + 2334 v+59v^2)^4+(7068 + 3082 v + 10v^2)^4+(2t)^4 = (22628 + 54 v + 159v^2)^4$
3. $(-11980 + 1673 v + 54v^2)^4+(36 - 2321 v + 3v^2)^4+(t)^4 = (24677 + 203 v + 71v^2 )^4$
4. $(62697 + 5045 v - 242v^2)^4+(-19200 - 9089 v + 46v^2)^4+(t)^4 = (86825 - 27 v + 303v^2)^4$

con pequeñas soluciones,

1. $v = -31/467,\;\;-3015/9707,\;\;18247/19530,\;\;30671/229738$
2. $v = 77/9,\;\;-1022/243,\;\; -50191/8685 $
3. $v = -2020/127$
4. $v = -8251/94$

Por ejemplo, la factorización de la primera ecuación rendimientos,

$$22030 + 28849 v - 56158 v^2 + 36941 v^3 - 31790 v^4 = t^2$$

Un primer punto es $v=-31/467$ a partir de la cual uno puede encontrar una infinita más. Estos 9 puntos $v_i$ explique 9 de los 20 soluciones con $d<10^{10}$, mientras que el resto es difícil de manejar $m$. (La 3ª y la 4ª de las familias podría todavía tiene puntos racionales de que el rendimiento de $d$ dentro de ese rango).

Pregunta: ¿Qué otras $m$ es de pequeña estatura no en la lista de los ocho de arriba?

P. S: Mi agradecimiento a Noam Elkies para ayudar con una 5ª de la familia en la versión anterior de este post.

Answer 1

Andrew Bremner encontrado el $k$th $m_k$ de pequeña altura para $k=8,9,10,11$. Dado,

$$a^4+b^4+c^4 = d^4\tag1$$

$$(p + r)^4 + (p - r)^4 + s^4 = q^4$$

donde $R_k = p,q,r,s$,

$$R_8 = 6260583580,\; 12558554489,\; -1552770140,\; 11988496761$$

$$R_9 = -1456578618665,\; 2734283895746,\; -639377557145,\; 2452045365504$$

$$R_{10} = -3142543344652846743,\;\, 5557992180974240706,\; -1971111422846551463, 4048310673060768880$$

$$R_{11} = -2361164981843721467350575,\; 62586521087452988953161234,\; 5241104489910083087 0860865,\; 16178554328069755572637088$$

Definir,

$$m_k = \frac{4p^2-q^2-s^2}{3p^2-2pq+r^2}$$

A continuación,

$$m_8 = \frac{233}{60}$$

$$m_9 = -\frac{56}{165}$$

$$m_{10} = -\frac{5}{44}$$

$$m_{11} = -\frac{125}{92}$$

Estas soluciones serían #21, #23, #29 y #30 en Leonid Durman la lista, moviendo Tomita la de #27 #31. Ahora hay $31$ primitiva soluciones a$(1)$$d<10^{28}$.