¿Fuerza de la consistencia: Si Con($T+A$) implica Con($T+B$), podemos nosotros inferir nada de $A$ y $B$?

Question

Para ser más específicos, vamos a $T$ ser un primer orden de la teoría y la deje $A$ $B$ ser dos diferentes de primer orden de las frases, tanto en el mismo idioma como $T$, pero independiente de la $T$. Además, supongamos que tenemos (en algunos meta-teoría) que Con($T+A$) implica Con($T+B$) (pero no viceversa).

$\textbf{Question}$: Żqué podemos decir acerca de las frases de la $A$$B$?

Es decir, podemos hablar solamente de la diferencia entre el $A$ $B$ en términos de $T$? Estamos limitado a decir que la adición de $A$ $T$resultados en una teoría que es "más probable" para derivar una contradicción que la adición de $B$$T$? O podemos inferir nada acerca de $A$ $B$ en sus el propios? (Hace uno para probar o refutar la otra? Puede ser que $A$ tiene más de primer orden consecuencias de $B$ ¿?)

$\textbf{Follow-up question}$: Jamás podría ser el caso de que la sustitución de $T$, con una diferente teoría de la $S$ (también en el mismo idioma y no puede decidir $A$ o $B$) conduce a Con($S+B$) equivalente a, o más fuerte que, Con($S+A$)?

He aquí un ejemplo para ilustrar mejor a mis preguntas:

Se sabe que la consistencia de la fuerza de ZF junto con el Axioma de Elección es exactamente la de ZF:

$$\text{Con(ZF+AC)} \iff \text{Con(ZF)}$$

Sin embargo, la consitency fuerza de ZF junto con el Axioma de Determinación es mucho mayor:

$$\text{Con(ZF+AD)} \iff \text{Con(ZF}+\ \psi )$$

donde $\psi$ es la frase "hay infinitamente muchos Woodin cardenales".

¿Estas relaciones de consitency fuerza nos dicen sobre AC y AD como oraciones establecer aparte de ZF? Es el ANUNCIO de que en algún aspecto más poderoso que el de CA (a pesar de que es rebatible en ZFC)? Podría, por alguna nueva teoría de conjuntos de $T$ en el mismo idioma como ZF, es posible que $T$+AC es equiconsistent con $T$+AD?

Las respuestas a estas preguntas pueden llegar a ser trivial, pero soy incapaz de asentarse en una conclusión satisfactoria a mí mismo. Las respuestas que ofrece una mayor intuición acerca de la consistencia de la fuerza sería muy apreciado.

Answer 1

Lamentablemente, no hay nada que podemos obtener de este. Por ejemplo, trabajando en ZF, nos encontramos con que el principio de la dependiente de la elección, DC--es equivalente a la AC para contables conjuntos de la no-0 finito de conjuntos--CC(fin)--junto con el principio de dependiente de opción múltiple--DMC. También es equivalente a la DMC junto con la suposición de que el Cantor cubos $\{0,1\}^X$ son espacios de Baire. Así, tomando T=ZF+DMC, contamos Con(T+CC(fin))$\Leftrightarrow$Con(T+Cantor cubos $\{0,1\}^X$ son de Baire). Por otra parte, sabemos que si el Cantor cubos $\{0,1\}^X$ son espacios de Baire, entonces CC(fin) se mantiene. Sin embargo, el recíproco no se cumple.

Hay otros ejemplos similares, donde T+A T+B son equiconsistent, pero donde a, B no están lógicamente relacionados entre sí fuera del contexto de T.

Answer 2

Esto es realmente más de una visión filosófica, en lugar de una respuesta matemática. $\newcommand{ZF}{\mathrm{ZF}}\newcommand{ZFC}{\mathrm{ZFC}}\newcommand{AC}{\mathrm{AC}}\newcommand{AD}{\mathrm{AD}}$

Pongámonos de acuerdo para trabajar en $\ZF$ como nuestra teoría y $\ZFC$ como el meta-teoría. En primer lugar se considera la aparentemente extraña equiconsistency de $\ZF$$\ZFC$, junto con muchos débil elección de los principios en el medio.

¿Qué es lo que nos dicen? Esto significa que si $\ZF$ es nuestra meta-teoría, entonces siempre que hemos de pasar a ejecutar en algo que es un modelo de $\ZFC$, entonces estamos garantizado a ejecutar en un modelo de $\ZF+\lnot\AC$ en algún lugar en el universo. A menudo las pruebas de equiconsistency también nos dicen cómo encontrar el modelo como, por ejemplo, obligando a los argumentos o la parte interna del modelo de argumentos, etc.

Filosóficamente, esto significa que si $\ZFC$ que es verdad en algún tipo de estructura, a continuación, $\ZF+\lnot\AC$ que es verdad en la otra. Desde $\ZF$ es una teoría razonable considerar que, nos dice que no hay un "salto de fe" si asumimos $\ZFC$ lugar. En particular, esto significa que somos libres de la preocupación que los $\AC$ presentó alguna inconsistencia en el sistema, que por supuesto si $\ZF$ no tiene uno ya.

De esto podemos deducir que Lebesgue y la escuela de las personas que llevan una matemática de la vida que $\AC$ es falso, rechazando $\ZF$ como un todo, ya que a partir de una prueba de la contradicción en $\ZFC$ sabemos cómo generar una contradicción en $\ZF$. De nuevo, estas pruebas fueron dado bastante más tarde de los primeros días de $\AC$ donde la gente rugió sobre sus consecuencias impensables.

Por otro lado, tenemos a $\ZF+\AD$ que es infinitamente más fuerte que el $\ZF$ o $\ZFC$ en la consistencia de la fuerza. Esto nos dice que, en contraste con la situación anterior, incluso si creemos que $\ZF$ sí es coherente todavía tenemos que creer que hay grandes cardenales, y que hay muchos de ellos. Así que muchos de los que nada menos que $\omega$ Woodin cardenales no es ni cerca de lo suficiente.

Esto es bastante el salto de la fe, específicamente, ya que sabemos que cualquier cosa que demuestra la consistencia de $\ZF$ es bastante fuerte la teoría, y que viene de fuera de la teoría de conjuntos puede parecer sospechoso y en el límite contradictorio. Sin embargo, todavía hay argumentos en favor de la ampliación de los cardenales, y de cualquier forma estos son interesantes.

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Coda:

Parece que hoy en día como una idea razonable para creer que los axiomas de la $\ZFC$ son consistentes. Yo personalmente creo que si chocantes contradicciones se encuentran, en varias décadas la mayoría de la gente asumirá $\ZFC+\varphi$ donde $\varphi$ es algo de gran cardenal axioma de que es lo suficientemente fuerte como para apoyar a la categoría de la teoría relacionada con las construcciones.

Hasta que eso ocurra, puede que la gente desconfíe de los grandes cardenales, o indiferentes a ellos.