Demostrar que para cada entero positivo $n \ge 2$% $ $$\sum^n_{k=1}k \sqrt{\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}}\leq\sqrt{2^{n-1}n^3}$he probado por la inducción pero no sabía cómo terminarlo.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Como se mencionó en los comentarios podemos obtener límites usando la desigualdad de la CS. Aquí es un más apretado con CS y secuencias adecuadamente solicitadas. En primer lugar tenga en cuenta que: $$\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k = (1+x)^n \implies \sum_{k=0}^nk \binom{n}{k}x^k = x\frac{d}{dx}(1+x)^n = n x(1+x)^{n-1}$ $
$$\implies \sum_{k=1}^nk \binom{n}{k} = n 2^{n-1} $$
Ahora por la desigualdad de CS: $$\left(\sum_{k=1}^nk \right) \cdot \left(\sum_{k=1}^nk \binom{n}{k}\right) \ge \left(\sum_{k=1}^n k \sqrt{\binom{n}k} \right)^2$ $ $$\implies \frac{n(n+1)}2\cdot n 2^{n-1} \ge \left(\sum_{k=1}^n k \sqrt{\binom{n}k} \right)^2 \implies \sum_{k=1}^n k \sqrt{\binom{n}k} \le n 2^{n/2-1} \sqrt{n+1}$ $
P.D. Que este destino es su lado derecho se muestran fácilmente: $$n 2^{n/2-1} \sqrt{n+1} \le \sqrt{2^{n-1}n^3} \iff n+1 \le 2n \iff n \ge 1$ $
