Forma cerrada de $\int_0^\infty \frac{\log(x)-\log(a)}{x-a}e^{-x} \mathrm{d}x$.

Question

Puede la integral

$$ \int_0^\infty \frac{\log(x)-\log(a)} {x a} e ^ {-x} \mathrm{d}x $$

¿expresarse en términos de alguna función especial? Han buscado a través de tablas de integrales, pero no podía encontrar nada.

Estoy principalmente interesado en los valores $a \geq 1$, pero la integral debe ser bien definida para todos los $a>0$.

Answer 1

Esta integral puede ser interpretado como una transformada de Laplace. Para ver esto, vamos a $u=x/a$. A continuación, $$ \int_0^\infty \frac{\log{x}-\log{a}}{x-a} \mathrm{e}^{-x}\,dx = \int_0^\infty \frac{\log{u}}{u-1} \mathrm{e}^{-au}\,du.$$

En otras palabras, si usted supiera la transformada de Laplace de $\frac{\log{x}}{x-1}$, esta integral se habría resuelto. Mathematica puede hacer esto, pero el resultado no es útil:

LaplaceTransform[Log[x]/(x - 1), x, a]

$$ e^{-a} \left(-G_{2,3}^{3,0}\left (\left| \begin{array}{c} 1,1 \\ 0,0,0 \\ \end{array} \right.\right)+(\log (a)+\gamma +2 i \pi ) (-\Gamma (0,-a))\right) $$

Edit: Resumir los comentarios de abajo, en la rama de corte que Mathematica eligió al parecer introdujo un componente imaginario. Vamos a arreglar esto. En primer lugar, nos vuelves a escribir la integral como $$ \mathrm{e}^{-a}\left[\int_{-1}^0 + \int_0^\infty\right]\left\{\frac{\log(x+1)}{x}\mathrm{e}^{-ax}\,dx\right\}.$$

La segunda parte integral en la que puede ser tomada exactamente por Mathematica para ser

MeijerG[{{0}, {1}}, {{0, 0, 0}, {}}, a]

La primera integral, sin embargo, vamos a escribir que como $I(a)$. Claramente, $$\frac{d^n I}{da^n} = -\int_0^1 x^{n-1}\log(1-x)\mathrm{e}^{ax}\,dx$$

Podemos (en su mayoría) evaluar estos al $a=0$; así que vamos a Taylor expandir$I(a)$$a=0$. Vamos a obtener $$ I(a) = \frac{\pi^2}{6} + \sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{(n+1)!} a^n $$ donde $H_n$ indica el $n$ número Armónico. (Sumas parciales de la serie armónica.)

No creo que podemos mejorar mucho en esto; para resumir, la integral, como pidió originalmente, debe ser $$ \mathrm{e}^{-a}G_{2,3}^{3,1}\left (\left| \begin{array}{c} 0,1 \\ 0,0,0 \\ \end{array} \right.\right) + \mathrm{e}^{-a}\left[\frac{\pi^2}{6} + \sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{(n+1)!} a^n\right]. $$