¿Qué tarda un Homeomorfismo suave ser un diffeomorphism?

Question

Me han abierto un subconjunto $A$ $\mathbb{R}^k$ y un subconjunto $B$ de $\mathbb{R}^n$, $n>k$, que son homeomórficos y $f:A\longrightarrow B$ es un buen homeomorphism entre dos conjuntos. Me pregunto si usted sabe los resultados en cuanto a qué propiedades adicionales de $f$ (otros que su inversa es suave) que es un diffeomorphism.

El resultado pueda ser en el espíritu de "un continuo bijection es un homeomorphism si y sólo si es abierto (cerrado)" que permite demostrar que una función es una homeomorphism sin demostrando que su inversa es continua.

Mi objetivo final es demostrar que el concreto de la función $f$ tiene su Jacobi determinante positivo en todas partes en $A$ o al menos que el Jacobiano es cero sólo en puntos aislados. Así que si usted sabe de cualquier resultado que me deja razonar sobre el conjunto en el que el Jacobiano se desvanece el uso de los hechos (suave homeomorphism) que he dicho, yo aprecio mucho.

Answer 1

Suponiendo que $B$ es un submanifold de $\mathbb R^n$, $f$ es un diffeomorphism si y sólo si es una inmersión, es decir, si el diferencial es inyectiva en todas partes. (Sin este primer supuesto de que usted necesita para pensar acerca de lo que significa diffeomorphism - ¿cuál es la suave estructura en $B$ destinado a ser?)

Dudo que esto sea de mucha ayuda, sin embargo, ya que esta hipótesis es exactamente equivalente a la Jacobiana ser determinante distinto de cero en todas partes. Tal vez Adrs del Teorema es lo que usted está buscando - dice usted que la imagen del conjunto de puntos críticos de $f$ tiene medida cero en $B$. Supongo que $f$ siendo un suave homeomorphism es suficiente para que esto implica que la crítica conjunto tiene medida cero en $A$, a pesar de todo estoy seguro de improviso es que se cierra con vacío interior.

Pidiendo aislado puntos críticos parece algo difícil - cuando tenemos un ejemplo con un punto crítico aislado podemos convertirlo en una de mayores dimensiones críticas submanifold al tomar un producto, por ejemplo, la ampliación de $f(x)=(x^3,0)$$f(x,y) = (x^3,y,0)$. Sea cual sea su hipótesis es que habría alguna manera que la regla de este tipo de cosas.