Consideremos una curva elíptica $y^2=x^3+b$ $\mathbb{R}$. ¿Cómo encontrar todos automorphisms real de esta curva de orden 3?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Deje $E: y^2=x^3+Ax+B$ ser una curva elíptica sobre $\mathbb{C}$. Cualquier cambio de variables (de $E$ a otro de la curva de $E':Y^2=X^3+A'X+B'$ isomorfo a$E$$\mathbb{C}$) que preserva la (corta) forma de Weierstrass es del tipo $(u^2x,u^3y)=(X,Y)$. Si este es un automorphism (es decir, $E=E'$), entonces debemos tener $u^4=1$ (si $A\neq 0$) y $u^6=1$ (si $B\neq 0$), debido a un cambio de las variables de $(u^2x,u^3y)=(X,Y)$ envía $E$$E':Y^2=X^3+u^4AX+u^6B$.
En particular, los automorfismos de a $E:y^2=x^3+B$ son todos de la forma$(x,y)\mapsto (u^2x,u^3y)$$u^6=1$, lo $u$ $6$th raíz de la unidad. Ahora usted puede fácilmente comprobar si alguno de los automorfismos son definidos sobre los $\mathbb{R}$ y de orden $3$.
