Para la suma de los dos ideales que genera el sistema

Question

Supongamos que hay dos ideales $I,J \in \mathbb{C}[x_1,\dots,x_k]$ y dos sistemas de generación de polinomios $\langle f_1, \dots, f_s\rangle$, $\langle g_1, \dots, g_t\rangle$. Ahora quiero describir $I + J$ con un sistema de generación de polinomios. Es

$$\langle f_1, \dots, f_s, g_1, \dots, g_t\rangle$$

¿un sistema de generación válido?

Answer 1

Sí, estás en lo correcto.

Una manera de ver esto es que tenga en cuenta que $I+J$ es el menor ideal que contiene a$I$$J$; de hecho, $I\subseteq I+J$ tomando $y=0$, e $J\subseteq I+J$ tomando $x=0$. Y si $K$ es un ideal que contiene a$I$$J$, entonces contiene a $x+y$ por cada $x\in I$$y\in J$, lo $I+J\subseteq K$. Finalmente, $I+J$ es ideal: es un subgrupo, y si $r\in R$, $r(x+y) = (rx)+(ry)\in I+J$ desde $I$ $J$ son ideales, y $(x+y)r = (xr)+(yr)\in I+J$ porque $I$ $J$ son ideales.

En particular, si $I=\langle f_1,\ldots,f_s\rangle$$J=\langle g_1,\ldots,g_t\rangle$, $f_i,g_j\in I+J$ todos los $I$$J$, lo $\langle f_1,\ldots,f_s,g_1,\ldots,g_t\rangle\subseteq I+J$; y desde $\langle f_1,\ldots,f_s,g_1,\ldots,g_t\rangle$ es un ideal que contiene a$I$$J$,$I+J\subseteq \langle f_1,\ldots f_s,g_1,\ldots,g_t\rangle$, lo que demuestra la igualdad.