¿No sé dónde empezar con esto, el ${1 \over {{x^2}}}$ parte de la función me echa fuera, cómo hacer hacer para esto? ¿Cómo uno generalmente plantear una pregunta como esta?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
De hecho, es una interesante función. Usted puede intentar encontrar una gran cantidad de puntos: seleccionar un rango de $x$ de los valores, y evaluar $$f(x) = \dfrac{\ln x}{x^2}$$ para cada x. Dada la suficiente cantidad de puntos de datos, el trazado de ellas a medida que avanza, se puede tratar de "conectar los puntos" a ver lo que se obtiene.
Usted puede también comprobar las asíntotas, los valores críticos, si los hubiere (diferenciar!!) para encontrar cualquier extrema, si es que existen, etc: que la información que ayudará a revelar en el caso de que la función de los picos y/o fondos, donde es creciente, decreciente, etc.
Por ejemplo, si tomamos el límite de $f(x)$ $x\to +\infty$, $x \to 0^+$, por ejemplo, y vamos a ver algunas cosas interesantes.
Calcular la derivada nos da $$f'(x) = \frac{1-2\ln x}{x^3}$$ So the derivative $f'(x) = 0$ at $x=e^{1/2}$, is positive for $x\lt e^{1/2}$ (hence increasing) and is negative, hence decreasing, when $x\gt e^{1/2}$.
Máximo: $x=e^{1/2}$.
También puede "echar un vistazo" a ver lo que usted está tratando de aproximarse: [Descargo de responsabilidad Wolfram Alpha gráfico está tomando, supongo, $\ln x$ en el numerador a ser $\ln|x|$, en cuyo caso usted tendría una simétrica de la gráfica (la parte izquierda de creación de reflejo de la parte derecha).
Oli
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89
La función sólo está definida para valores positivos $x$. Para $0<x\lt 1$, $\ln x$ es negativo, negativo grande cerca de $x=0$. Dividiendo por $x^2$ hace las cosas mucho más negativo.
Para $x$ gran positivo, el $x^2$ en la parte inferior aplasta insignificantes $\ln x$. Así, por $x$ grandes, nuestra función es positiva, pero cerca de $0$.
Podríamos señalar que $\frac{\ln x}{x^2}$$0$$x=1$, y positivo para $x\gt 1$.
Para más detalle, podemos calcular la derivada. Esto es $\frac{1-2\ln x}{x^3}$. Por tanto la derivada es $0$$x=e^{1/2}$, positivo para $x\lt e^{1/2}$, y negativo para $x\gt e^{1/2}$.
Así que nuestra función alcanza un máximo en $x=e^{1/2}$. El valor máximo es de $\frac{1}{2e}$.
Ahora que ya tenemos suficiente información para dibujar un muy buen dibujo. Para los detalles acerca de la concavidad, uno puede mirar en la segunda derivada. Si haces el cálculo, usted encontrará que la curva es hacia abajo hasta el $x=e^{5/6}$, y luego hacia arriba. Esto no agregar mucho en la forma de información útil en este caso. Sin embargo, una pregunta de examen puede preguntar acerca de concavidad, ya que no es demasiado difícil de tratar en este ejemplo.
Xenph Yan
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20883
Si usted no debe ser el uso de una calculadora/una computadora: conecte un montón de valores de $x$ para que usted será capaz de aproximar el valor de $f(x)$, determinar los puntos resultantes $(x,f(x))$, y los conecta con una razonable-en busca de la curva.
Por ejemplo, para la función de $f(x)=\frac{1}{x^2}\ln(x)$, vamos a querer enchufar los valores de $x$, de la que conocemos el valor aproximado de $\ln(x)$. Algunos de estos $x$'s son potencias de $e$. Por ejemplo, digamos que $e\approx 2.7$. Entonces podemos aproximar $$f(2.7)=\frac{1}{(2.7)^2}\ln(2.7)\approx \frac{1}{(2.7)^2}\cdot 1=\frac{1}{7.29}$$
Si está permitido el uso de una calculadora/una computadora, sólo digo que para hacerlo :)
Ingresar este código en Mathematica
Plot[(1/x^2) Log[x], {x, 0, 5}, PlotRange -> {-1, 1}]
produce
Maazul
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1764
$x^{-2}>1$ Cuando $|x|<1$ y si sabes la gráfica de $lnx$ entonces la parte que conjetura deben ir fácil. $lnx$ va a $-\infty$ $x$ enfoques $0$. Por $x^{-2}$ en esa región, se disparar a $-\infty$ a un ritmo más rápido. Mientras que para $x>1$ región, cabe señalar que $x^{-2}$ tiene una tasa de crecimiento mayor que $lnx$ y por lo tanto, $x^{-2}$ logra calmarse $lnx$. Este conocimiento juntada con el conocimiento de los máximos de debería ser suficiente para dar una buena estimación para todas las $x>0$.
