Se dice en este blog que:
La razón de que esto resulta para ser útil es que muchos ejemplos en geometría algebraica/aritmética requieren que no busque más módulos comprensión sobre dominios de Dedekind.
¿Alguien me podría proporcionar algunos ejemplos que ilustran esto?
Hay muchas respuestas posibles. Desde que se publicó esta en la geometría algebraica, le voy a dar una geométricas respuesta.
Supongamos que usted quería entender regular afín a la curva de $C=\text{Spec}(A)$. Una cosa natural que usted puede hacer es el estudio de la línea de paquetes de más de $C$, pues este le dice que un poco de información geométrica sobre $C$. La manera estándar para el estudio de la línea de haces es buscar en el grupo de Picard de $C$ que es el grupo de clases de isomorfismo de la línea de paquetes (en virtud de producto tensor). Así que, ¿cómo podemos calcular el grupo de clase, $\text{Pic}(C)$?
Una posible forma es a través de la noción más general de la $K_0(R)$ ( $0^{\text{th}}$ K-grupo de $R$) de un anillo de $R$. Este es sólo el grupo de clases de isomorfismo de finitely proyectiva $R$-módulos. Por ejemplo, como un ejercicio, de convencerse de que $K_0(k)=\mathbb{Z}$ $k$ un campo (o, lo que es significativamente más difícil, por $k$ un anillo local). Mientras que esto parece bastante inútil definición, su uso puede ser visto a través de los siguientes limpio teorema:
Teorema: Vamos a $R$ ser un dominio de Dedekind. A continuación, $K_0(R)\cong \mathbb{Z}\times\text{Pic}(R)$.
Así, por ejemplo, si $R=\mathcal{O}_K$, para algunos el campo de número de $K$, entonces sabemos que $\text{Cl}(\mathcal{O}_K)=\text{Pic}(\text{Spec}(\mathcal{O}_K)$ es finito y por lo
$$\text{Cl}(\mathcal{O}_K)=\text{Pic}(\text{Spec}(\mathcal{O}_K))=K_0(\mathcal{O}_K)_\text{tors}$$
Por lo tanto, si usted entiende todos los módulos a través de un dominio de Dedekind (incluso de los proyectivos!) te gustaría entender completamente el conjunto de la línea de paquetes por encima de su dominio. O, si son más aritméticamente mente, usted puede pensar en el anterior centrado en la ecuación, y darse cuenta de que usted puede entender la clase de grupo de un número anillo puramente por el estudio de los módulos a través de ella.
Si usted desea aprender más acerca de la algebraica de K-teoría, recomiendo altamente a Rosenburg del libro sobre el tema.
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