I n nueva para el análisis complejo y estoy un poco nervioso por la siguiente función. Me gustaría ayudar a la comprensión de si es posible o no a analíticamente siga fuera del círculo unidad. $$f(z)=\prod\limits_{k=1}^{\infty}(1+z^k)$$ El uso de Arce, parece converger a$0$, $z=(\exp(\frac{2\pi i}{2}),\exp(\frac{2\pi i}{4}),\exp(\frac{2\pi i}{6}),\dots)$ y diverge a infinito en $z=(\exp(\frac{2\pi i}{1}),\exp(\frac{2\pi i}{3}),\exp(\frac{2\pi i}{5}),\dots)$. Esto tiene sentido como cuando cualquiera de el primer conjunto de raíces de la unidad están conectados a la función, al final de multiplicar por 0, mientras que con las otras raíces que usted acaba de terminar la multiplicación de un número infinito de números mayores que 1. Además $f$ deben converger a $0$ cualquier $even$ raíz de la unidad, $z=\exp(\frac{2\pi ik}{2n})$, y difieren por alguna extraña raíz, $z=\exp\left(\frac{2\pi ik}{2n+1}\right)$.
Esto significa que en cualquier singularidad, hay puntos infinitamente cerca de ella con $f(z)=0$, y por cada punto tal que $f(z)=0$, hay infinitamente muchas singularidades cerca de él. Es posible que (En teoría o en la práctica) a analíticamente continuar $f$ fuera del círculo unidad?
Edit: estoy leyendo en este momento, un artículo de la Wikipedia, que afirma que si una función tiene un conjunto de singularidades en su círculo de convergencia, y este conjunto es $dense$, entonces cada punto en el círculo debe ser una singularidad. Excepto esta función parece contradecir que como todos los de nuestra $even$ raíces no son singularidades (a menos que secretamente que son!).
