integración como límite de una suma

Question

¿$f$ Es continua en $[0, 1]$ $$\lim_ {n\to\infty}\sum_{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \frac1{n}f\left(\frac {j}{n}\right) = ? $ $ será la respuesta en caso de que el límite existe y es igual a $ \int_0^1 f(x) dx$?

Answer 1

Que $a_n:=\sum_{j=0}^{\lfloor \frac n2\rfloor}\frac 1nf\left(\frac jn\right)$. Entonces $$a_{2m}=\frac 12\frac 1m\sum_{j=0}^mf\left(\frac 12\frac jm\right),$ $ por lo tanto, $\lim_{m\to +\infty}a_{2m}=\frac 12\int_0^1f\left(\frac x2\right)dx$. Tenemos $$a_{2m+1}=\sum_{j=0}^m\frac 1{2m+1}f\left(\frac j{2m+1}\right).$ $ usando uniforme continuidad de $f$, se puede ver que el % de subsecuencias $(a_{2m},m\geqslant 1)$y $(a_{2m+1},m\geqslant 1)$ tienen el mismo límite, es decir, $$\int_0^{1/2}f(t)dt.$ $