Esta pregunta me ha estado molestando durante los últimos días. Sospecho que es demasiado difícil para mi nivel de matemáticas (3er año de licenciatura). He disfrutado de la lucha y lucha con él, pero ahora tengo que volver a examen de la revisión...me doy por vencido. Creo que podría estar cerca, pero cada vez que intento escribir una respuesta me confunden... de todos modos aquí está el problema:
¿Existe una función, $g(x)$ decir, tal que para cualquier $c$ en $\mathbb{R}$, $g(x)$ finalmente es (estrictamente) MENOS DE $c/x$, pero el área bajo $g(x)$ es infinito? El "punto" es que, en caso de no $g(x)$ existe, $1/x$ realmente es en el "límite" a una constante, y esta pregunta elimina el molesto funciones tales como $a(1/x-1/x^2)$ que han infinito área... pero vamos a ser honestos, $a(1/x-1/x^2)$ tiende a $1/x$ $x$ tiende a infinito, así que en realidad esta pregunta se deshace de tales funciones, que obstruyen (lo que sería) nuestro objetivo.
Sospecho que la respuesta a la pregunta es no. Este es mi último esfuerzo:
Para cada una de las $n\epsilon\mathbb{N}$, debe haber al menos un $a\in\mathbb{R}$ tal que, finalmente,
$$ ax^{-1-1/n}<f(x)<\frac{a}{x}\tag{*} $$
Fix $n\epsilon\mathbb{N}$ . Entonces si $\{a_i\}$ es un (posiblemente incontables) conjunto de los números reales satisfacer $(*)$ .
Deje $A_n=\inf\{a_i\}$ .
Ahora, $(*)$ debe mantener para cada $n$.
Esto significa $a(n)x^{-1-1/n}<f(x)<\frac{a(n)}{x}$ . Ahora nos fijamos en $a(n)$ . O quizás $A_n$ . . .
. . . O ¿no? No sé cómo hacer que el progreso.
Ahora todo esto parece que podría estar a la derecha de las líneas. Pero yo no tengo ni idea de tbh y en este punto, en mi intento de solución, mi cerebro no duele . . . cualquier ayuda por favor?
